Sách bài tập Toán 12 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1 trang 21 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = −1.

b) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2.

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận xiên là đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0).

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0.a+b=2\\ 2a+b=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=-1\end{array}\right.$.

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 2.

d) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận xiên.

Đường tiệm cận xiên thứ nhất y = a₁x + b₁ đi qua hai điểm có tọa độ (0; −3) và (4; 0).

Giải hệ phương trình, ta được: $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a}_1.0+b_1=-3\\ a_1.4+b_1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{3}{4}\\ b_1=-3\end{array}\right.\\ \end{array}$.

Do đó, đường tiệm cận xiên thứ nhất là y = $\frac{3}{4}x-3.$

Đường tiệm cận xiên thứ hai y = a₂x + b₂ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (4; 0).

Giải hệ phương trình, ta được: $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a}_2.0+b_2=3\\ a_2.4+b_2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1=-\frac{3}{4}\\ b_1=3\end{array}\right.\\ \end{array}$.

Do đó, đường tiệm cận xiên thứ hai là: y = $-\frac{3}{4}x+3.$

Bài 2 trang 22 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }\frac{x-5}{2x+1}=-\infty$; $\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\frac{x-5}{2x+1}=+\infty$.

Do đó, đường thẳng x = $-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

              $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-5}{2x+1}=\frac{1}{2}$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-5}{2x+1}=\frac{1}{2}$.

Do đó, đường thẳng y = $\frac{1}{2}$ là tiệm ngang của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x}{x-3}=+\infty$; $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-3}=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

              $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{x-3}=2$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{x-3}=2$.

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Ta có: $\underset{x\to -{\frac{2}{3}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{2}{3}}^{+}}{\lim }\left(-\frac{6}{3x+2}\right)=-\infty$; $\underset{x\to -{\frac{2}{3}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{2}{3}}^{-}}{\lim }\left(-\frac{6}{3x+2}\right)=+\infty$.

Do đó, đường thẳng x = $-\frac{2}{3}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

               $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{6}{3x+2}\right)=0$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{6}{3x+2}\right)=0$.

Do đó, đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 3 trang 22 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) $y=2x+1+\frac{1}{x-3}$

Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(2x+1+\frac{1}{x-3}\right)=+\infty$; $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(2x+1+\frac{1}{x-3}\right)=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x-3}=0$.

Do đó, đường thẳng y = 2x + 1laf tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $y=\frac{-3x^2+16x-3}{x-5}$ = −3x + 1 + $\frac{2}{x-5}$.

             $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\left(-3x+1+\frac{2}{x-5}\right)=+\infty$; $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\left(-3x+1+\frac{2}{x-5}\right)=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

             $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[y-\left(-3x+1\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{x-5}=0$.

Do đó, đường thẳng y = −3x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Ta có: $y=\frac{-6x^2+7x+1}{3x+1}$ = −2x + 3 – $\frac{2}{3x+1}$

              $\underset{x\to -{\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }\left(-2x+3-\frac{2}{3x+1}\right)=+\infty$; $\underset{x\to -{\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }\left(-2x+3-\frac{2}{3x+1}\right)=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = $-\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

              $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[y-\left(-2x+3\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2}{3x+1}=0$.

Do đó, đường thẳng y = −2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 4 trang 22 SBT Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+2}{x^2+2x-3}$;

b) y = $\sqrt{x^2-16}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+2x-3}=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+2x-3}=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

               $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+2x-3}=-\infty$; $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+2x-3}=+\infty$.

Do đó, đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

               $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+2x-3}=1$.

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(-x\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2-16}+x\right]=0$.

Do đó, đường thẳng y = −x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

                $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2-16}-x\right]=0$.

Do đó, đường thẳng y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 5 trang 22 SBT Toán 12 Tập 1: Chi phí để làm sạch p% lượng dầu loang từ một sự cố trên biển có thể được xấp xỉ bởi công thức

C(p) = $\frac{2000p}{100-p}$ (tỉ đồng).

a) Tính chi phí để làm sạch 95%, 96%, 97%, 98% và 99% lượng dầu loang.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số C(p).

Lời giải:

a) Ta có: C(95) = $\frac{2000.95}{100-95}=38000$ tỉ đồng.

               C(96) = $\frac{2000.96}{100-96}=48000$ tỉ đồng.

               C(97) = $\frac{2000.97}{100-97}=\frac{194000}{3}$ tỉ đồng.

               C(98) = $\frac{2000.98}{100-98}=96000$ tỉ đồng.

               C(99) =  $\frac{2000.99}{100-99}=198000$ tỉ đồng.

b) Ta có: C(p) = $\frac{2000p}{100-p}$

             $\underset{p\to {100}^{+}}{\lim }C\left(p\right)=\underset{p\to {100}^{+}}{\lim }\frac{2000p}{100-p}=+\infty$; $\underset{p\to {100}^{-}}{\lim }C\left(p\right)=\underset{p\to {100}^{-}}{\lim }\frac{2000p}{100-p}=-\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng p = 100.

Bài 6 trang 22 SBT Toán 12 Tập 1: Hằng tháng, một công ty chuyên sản xuất mặt hàng A phải trả chi phí cố định là 50 triệu đồng (để thuê mặt bằng và lương nhân viên) và chi phí cho nguyên liệu là 10 000x (đồng) với x là số lượng sản phẩm A được nhập về.

a) Viết công thức tính chi phí trung bình $\overline{C}\left(x\right)$ mà công ty cần chi phí để sản xuất một sản phẩm.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $\overline{C}\left(x\right)$

Lời giải:

a) Ta có: $\overline{C}\left(x\right)=\frac{50000000+10000x}{x}=\frac{50000000}{x}+10000$.

b) Ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{50000000}{x}+10000\right)=+\infty$;  $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(\frac{50000000}{x}+10000\right)=-\infty$.

Do đó, đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{50000000}{x}+10000\right)=10000$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{50000000}{x}+10000\right)=10000$

Do đó, đường thẳng y = 10 000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3-x}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{3x-2}{x+2}=+\mathrm{\infty }$

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.

2. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$.

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y=ax+b(a\ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$.

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số $y=f(x)=x+\frac{1}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f(x)-x\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+2}=0$

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.

Sơ đồ tư duy Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian