Giải SGK Toán 12 Bài 1 (Kết nối tri thức): Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

HĐ 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y=x^2$  (H.1.2)

 

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Lời giải:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Xét khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$: $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right),x_1<x_2$ thì $x_1^2<x_2^2$ hay $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Suy ra, hàm số $y=x^2$ đồng biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

+ Xét khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$: $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \left(-\mathrm{\infty };0\right),x_1<x_2$ thì $x_1^2>x_2^2$hay $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Suy ra, hàm số $y=x^2$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

Luyện tập 1 trang 6 Toán 12 Tập 1: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$ thì đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ đi lên từ trái sang phải nên hàm số $y=x^3-3x^2+2$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Trong khoảng $\left(0;2\right)$ thì đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ đi xuống từ trái sang phải nên hàm số $y=x^3-3x^2+2$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

HĐ 2 trang 6 Toán 12 Tập 1: a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.

b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng $\left(-1;1\right)$?

Lời giải:

a) + Xét khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ ta có: $y^{\prime }={\left(-x\right)}^{\prime }=-1<0$

Trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm $y^{\prime }<0$.

+ Xét khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có: $y^{\prime }=x^{\prime }=1>0$

Trong khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm $y^{\prime }>0$.

b) Trong khoảng $\left(-1;1\right)$ ta có: $y^{\prime }={\left(1\right)}^{\prime }=0$

Trong khoảng $\left(-1;1\right)$ ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm $y^{\prime }=0$.

Luyện tập 2 trang 7 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y=-x^2+2x+3$.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-2x+2,y^{\prime }>0$ với $x\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)$; $y<0$ với $x\in \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

HĐ 3 trang 7 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$.

a) Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm x mà $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-3x^2+2x+1\right)}^{\prime }=3x^2-6x+2$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3x^2-6x+2=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3-\sqrt{3}}{3}\\ x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Vậy $x=\frac{3-\sqrt{3}}{3},x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$ thì $f^{\prime }\left(x\right)=0$

b) Bảng biến thiên:

c) Hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{3-\sqrt{3}}{3};\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)$.

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$;

b) $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2+6x+5,y^{\prime }=0\iff x^2+6x+5=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-5\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+5x+2$ nghịch biến trên khoảng $\left(-5;-1\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+5\right)\left(x-2\right)-\left(-x^2+5x-7\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\frac{-x^2+4x-3}{{\left(x-2\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$ đồng biến trên khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$.

Hàm số $y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vận dụng 1 trang 9 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).

b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

Bài toán mở đầu:

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức $s\left(t\right)=t^3-9t^2+15t,t\ge 0$. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Lời giải:

a) Ta có: $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)={\left(t^3-9t^2+15t\right)}^{\prime }=3t^2-18t+15$

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $v\left(t\right)>0\iff 3t^2-18t+15>0\iff \left(t-1\right)\left(t-5\right)>0\iff [\begin{array}{l}t<1\\ t>5\end{array}$

$v\left(t\right)<0\iff 3t^2-18t+15<0\iff \left(t-1\right)\left(t-5\right)<0\iff 1<t<5$

Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi $v\left(t\right)>0$, tức là $t\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(5;+\mathrm{\infty }\right)$.

Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi $v\left(t\right)<0$, tức là $1<t<5$.

2. Cực trị của hàm số

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y=x^3+3x^2-4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và $y_{CT}=y\left(1\right)=1$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $y_{C\mathrm{D}}=y(-1)=5$      

HĐ5 trang 10 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$.

a) Tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=x^2-6x+8$, $y^{\prime }=0\iff x^2-6x+8=0\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=2\end{array}$

Vậy $x=4;x=2$ thì $f^{\prime }\left(x\right)=0$

b) Bảng biến thiên:

 

c) Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$ có điểm cực đại là $\left(2;\frac{23}{3}\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$ có điểm cực tiểu là $\left(4;\frac{19}{3}\right)$. 

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1: Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Lời giải:

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì:

TH1: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$, ta có bảng biến thiên:

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua $x_0$ thì:

TH1: $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(x_0;b\right)$, ta có bảng biến thiên:

Do đó, $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).

Luyện tập 5 trang 12 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=x^4-3x^2+1$;                                            

b) $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-6x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-6x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$;

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ và $y_{CT}=\frac{-5}{4}$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(-2x+2\right)\left(x+2\right)-\left(-x^2+2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{-x^2-4x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-5\\ x=1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-5$ và $y_{CT}=12$.

Vận dụng 2 trang 12 Toán 12 Tập 1: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Lời giải:

Xét hàm số: $h\left(t\right)=2+24,5t-4,9t^2$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có:$$h^{\prime }\left(t\right)=-9,8t+24,5;h^{\prime }\left(t\right)=0\iff -9,8t+24,5=0\iff t=\frac{5}{2}$$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $t=\frac{5}{2}$,

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t=\frac{5}{2}$ giây.

Bài tập

Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ (H.1.11);

 

b) Đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ (H.1.12).

Lời giải:

a) Hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ nghịch biến trên $\left(0;1\right)$.

b) Hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ đồng biến trên $\left(-2;0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(0;2\right)$.

Bài 1.2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$;

b) $y=-x^3+2x^2-5x+3$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2-4x+3,y^{\prime }=0\iff x^2-4x+3=0\iff [\begin{array}{l}x=3\\ x=1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$ nghịch biến trên khoảng $\left(1;3\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x-5$

Vì$-3x^2+4x-5=-3\left(x^2-2.\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)-\frac{11}{3}=-3{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2-\frac{11}{3}<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Do đó, $y^{\prime }<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y=-x^3+2x^2-5x+3$ nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Bài 1.3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$; 

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{2x+4-2x+1}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{5}{\left(x+2\right)}>0\mathrm{\forall }x\ne -2$

Do đó, hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(-2;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+x+4\right)}^{\prime }\left(x-3\right)-\left(x^2+x+4\right){\left(x-3\right)}^{\prime }}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-3\right)-x^2-x-4}{{\left(x-3\right)}^2}=\frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff \frac{x^2-6x-7}{{\left(x-3\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=7\\ x=-1\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;3\right)$ và $\left(3;7\right)$.

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(7;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{4-x^2}$;
b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\left[-2;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}},y^{\prime }=0\iff x=0\left(tm\right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$.

Hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có:$y^{\prime }=\frac{\left(x^2+1\right)-2x.x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2},y^{\prime }=0\iff \frac{-x^2+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$, $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\frac{x}{x^2+1}$ đồng biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$

Bài 1.5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge 0$, trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N’(t) và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)$. Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Lời giải:

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: $N\left(0\right)=\frac{25.0+10}{0+5}=\frac{10}{5}=2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: $N\left(15\right)=\frac{25.15+10}{15+5}=19,25$ (nghìn người)

b) Ta có: , $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{25t+10}{t+5}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$

Vì $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}N\left(t\right)=25$ và  nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.

Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y=f^{\prime }\left(x\right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Lời giải:

a) Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ khi $x\in \left(2;4\right)$ và $x\in \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$. Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên $\left(2;4\right)$ và $\left(6;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ khi $x\in \left(0;2\right)$ và $x\in \left(4;6\right)$. Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên $\left(0;2\right)$ và $\left(4;6\right)$.

b) Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(0;2\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(2;4\right)$ thì $x=2$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(2;4\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(4;6\right)$ thì điểm $x=4$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Vì $f^{\prime }\left(x\right)<0$ với mọi $x\in \left(4;6\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(6;+\mathrm{\infty }\right)$ thì điểm $x=6$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-9x^2+12x-5$;

b) $y=x^4-4x^2+2$
c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$;
d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=6x^2-18x+12$, $y^{\prime }=0\iff 6x^2-18x+12=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực đại là $\left(1;0\right)$.

Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-5$ có điểm cực tiểu là $\left(2;-1\right)$.

b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-8x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực đại tại $x=0$ và .

Hàm số $y=x^4-4x^2+2$ đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$ và $y_{CT}=-2$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực đại tại $x=1-\sqrt{2}$ và .

Hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ đạt cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ và $y_{CT}=2\sqrt{2}$.

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Tập xác định: $D=\left[0;2\right]$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{-x+1}{\sqrt{4x-2x^2}},y^{\prime }=0\iff x=1\left(tm\right)$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

 

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x=1$, , hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8 trang 14 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x=0$. (Xem Hình 1.4)

Lời giải:

a) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{x}=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x}{x}=-1$

Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

b) Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left|x\right|=\{\begin{array}{l}-xkhix\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\\ xkhix\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ liên tục và xác định trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$

Với số $h>0$ ta có: Với $x\in \left(-h;h\right)\subset \left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$ và $x\ne 0$ thì $y=f\left(x\right)=\left|x\right|>0=f\left(0\right)$

Do đó, hàm số $y=f\left(x\right)=\left|x\right|$ có cực tiểu là $x=0$.

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left(t\right)=\frac{5000}{1+5e^{-t}},t\ge 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Lời giải:

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{-5000{\left(1+5e^{-t}\right)}^{\prime }}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^2}=\frac{25000e^{-t}}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^2}$

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f^{\prime }\left(t\right)$ lớn nhất.

Đặt $h\left(t\right)=\frac{25000e^{-t}}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^2}$.

$h^{\prime }\left(t\right)=\frac{-25000e^{-t}{\left(1+5e^{-t}\right)}^2-2.\left(-5e^{-t}\right).\left(1+5e^{-t}\right).25000e^{-t}}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^4}$

$=\frac{-25000e^{-t}\left(1+5e^{-t}\right)\left(1+5e^{-t}-10e^{-t}\right)}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^4}=\frac{-25000e^{-t}\left(1-5e^{-t}\right)}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^3}$

$h^{\prime }\left(t\right)=0\iff \frac{-25000e^{-t}\left(1-5e^{-t}\right)}{{\left(1+5e^{-t}\right)}^3}=0\iff 1-5e^{-t}=0\iff e^{-t}=\frac{1}{5}\iff t=\ln 5$(tm)

Ta có bảng biến thiên với $t\in \left[0;+\mathrm{\infty }\right)$:

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5\approx 1,6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài tập cuối chương 1

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in K,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số $y=x^2-4x+2$ có y’ = 2x – 4

• y’ > 0 với $x\in (2;+\mathrm{\infty })$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$
• y’ < 0 với $x\in (-\mathrm{\infty };2)$ nên HS đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) Tìm tập xác định của hàm số. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm $x_i$(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$

1. Tập xác định của hàm số là $R\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

2. Ta có: $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{{(x+1)}^2}=\frac{3}{{(x+1)}^2}>0\mathrm{\forall }x\ne -1$

3. BBT

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(-1;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là $-\mathrm{\infty }$, b có thể là $+\mathrm{\infty }$ ) và điểm $x_0\in \left(a;b\right)$. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f($x_0$) $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_0$ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f($x_0$) $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0-h;x_0+h\right)\subset \left(a;b\right)$ và $x\ne x_0$ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_0$

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và $y_{CT}$= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và $y_{CT}$= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a;x_0\right)$ và $\left(x_0;b\right)$. Khi đó: Nếu f’(x) < 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) > 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) Nếu f’(x) > 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(a;x_0\right)$ và f’(x) < 0 $\mathrm{\forall }x\in \left(x_0;b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+30$.

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-12x+9$; y’ = 0 $\iff$x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

 

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và $y_{CT}$= y(3) = 30