Giải SGK Toán 12 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 12 Tập 1: Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:

$C\left(v\right)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\left(0<v\le 120\right)$

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?

Lời giải:

Sau bài học này, ta khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số C = C(v).

– Tập xác định: D = (0; 120].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

● Đạo hàm C'(v) = $-\frac{16000}{v^2}+\frac{5}{2}=\frac{5\left(v-80\right)\left(v+80\right)}{2v^2}$;

C'(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.

● Trên khoảng (0; 80), C'(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

● Trên khoảng (80; 120), C'(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, C_CT = C(80) = 400.

+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: $\underset{v\to 0^{+}}{\lim }C\left(v\right)=\underset{v\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\right)=+\infty$ nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), $\left(120;\frac{1300}{3}\right)$ như hình dưới đây.

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Hoạt động khám phá trang 25 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = – x² + 4x – 3.

a) Lập bảng biến thiên.

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = – x² + 4x – 3.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có y’ = – 2x + 4;

          y’ = 0 ⇔ – 2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.

Bảng biến thiên:

b) Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số a = – 1 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh I(2; 1), đi qua các điểm (0; – 3), (1; 0), (3; 0) và (4; – 3).

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

2. Khảo sát hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = – 2x³ – 3x² + 1;

b) y = x³ + 3x² + 3x + 2.

Lời giải:

a) y = – 2x³ – 3x² + 1

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = – 6x² – 6x; y’ = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; + ∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (– 1; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 và y_CT = 0. 

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(-2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ – 2x³ – 3x² + 1 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = $\frac{1}{2}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (– 1; 0) và $\left(\frac{1}{2};0\right)$

Điểm (0; 1) là điểm cực đại và điểm (– 1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

b) y = x³ + 3x² + 3x + 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = 3x² + 6x + 3 = 3(x + 1)² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

               y’ = 0 ⇔ x = – 1.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số đã cho không có cực trị.

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x³ + 3x² + 3x + 2 = 0 ⇔ x = – 2.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1).

3. Khảo sát hàm số $y =\frac{ax+b}{cx+d}$ (c ≠ 0, ad-bc ≠ 0)

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$;

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$;

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-2}{{\left(x-1\right)}^2}$. Vì y’ < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-1}=1$. Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0), giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{1}{3}\right\}$.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-2}{{\left(3x-1\right)}^2}$. Vì y’ < 0 với mọi x ≠ $\frac{1}{3}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$.

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{3x-1}=\frac{2}{3};\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{3x-1}=\frac{2}{3}$. Suy ra đường thẳng y = $\frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{-}}{\lim }\frac{2x}{3x-1}=-\infty ;\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{+}}{\lim }\frac{2x}{3x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = $\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I$\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = $\frac{1}{3}$ và y = $\frac{2}{3}$.

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{7}{{\left(2-x\right)}^2}$. Vì y’ > 0 với mọi x ≠ 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5+x}{2-x}=-1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5+x}{2-x}=-1$. Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{5+x}{2-x}=+\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5+x}{2-x}=-\infty$. Suy ra đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 5; 0), giao với trục Oy tại điểm $\left(0;\frac{5}{2}\right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = – 1.  

4. Khảo sát hàm số $y =\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ (a ≠ 0, m ≠ 0, đa thức từ không chia hết cho đa thức mẫu)

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=x-\frac{1}{x}$;

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$;

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$.

Lời giải:

a) $y=x-\frac{1}{x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $1+\frac{1}{x^2}$. Vì y’ > 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-\frac{1}{x}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\frac{1}{x}\right)=+\infty$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-\frac{1}{x}-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x}\right)=0$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\frac{1}{x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x}\right)=0$

Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-\frac{1}{x}\right)=+\infty ;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x-\frac{1}{x}\right)=-\infty$. Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $x-\frac{1}{x}=0$ ⇔ x² = 1 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0) và điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O(0; 0). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 (trục Oy) và y = x. 

b) $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $-1+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$. Ta có y’ = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (0; + ∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 2; – 1) và (– 1; 0), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 2 và y_CT = 5.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y­_CĐ = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x+2-\frac{1}{x+1}\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x+2-\frac{1}{x+1}\right)=-\infty$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(-x+2\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x+1}\right)=0$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(-x+2\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x+1}\right)=0$

Suy ra đường thẳng y = – x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(-x+2-\frac{1}{x+1}\right)=+\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(-x+2-\frac{1}{x+1}\right)=-\infty$. Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $-x+2-\frac{1}{x+1}=0$ ⇔ x = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc x = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right)$ và điểm $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 3).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x + 2. 

c) $y=\frac{-x^2-x+2}{x+1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-x^2-2x-3}{{\left(x+1\right)}^2}$. Vì y’ < 0 với mọi x ≠ – 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2-x+2}{x\left(x+1\right)}=-1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{-x^2-x+2}{x+1}-\left(-1\right)x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}=0$.

Suy ra đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{-x^2-x+2}{x+1}=0$ ⇔ x = – 2 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0) và điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 2).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 1).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x. 

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Thực hành 4 trang 35 Toán 12 Tập 1: Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d’ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d’ > 0, ảnh ảo thì d’ < 0). Ta có công thức:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d^{‘}}$ hay $d^{‘}=\frac{df}{d-f}$.

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).

Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d’. Ta có hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$ và x ≠ 3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a) Vì d > 0 nên với x = d thì x > 0.

Xét hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$ với x > 0 và x ≠ 3.

1. Tập xác định: D = (0; 3) ∪ (3; + ∞).

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-9}{{\left(x-3\right)}^2}$. Vì y’ < 0 với mọi x > 0 và x ≠ 3 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 3) và (3; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x-3}=3$. Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{3x}{x-3}=-\infty ;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{3x}{x-3}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; – 6) và điểm (6; 6).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

b)

● Để vật là ảnh thật thì d’ > 0, tức là y > 0.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$, ta thấy trên khoảng (3; + ∞), đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox nên y > 0 trên khoảng này. Vậy với x > 3, tức d > 3 hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.

● Để vật là ảnh ảo thì d’ < 0, tức là y < 0.

Quan sát đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{x-3}$, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên y < 0 trên khoảng này. Vậy với x ∈ (0; 3), tức d ∈ (0; 3) hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm, tức vị trí A tiến gần đến vị trí F, thì khoảng cách AF dần tiến tới 0, hay d – f → 0, suy ra d → f, tức là x → 3.

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

$S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm³).

Theo bài ra ta có V = 500 cm³, khi đó 2xy = 500, suy ra y = $\frac{250}{x}$.

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là

S_xq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm²).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S_tp = S_xq + 2S_đ = 4(x + y) + 2xy (cm²)

Lại có y = $\frac{250}{x}$ nên S_tp = $4\left(x+\frac{250}{x}\right)+2x\cdot \frac{250}{x}=4x+\frac{1000}{x}+500$.

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$.

c) Xét hàm số $S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$ với x ∈ (0; + ∞).

Ta có S'(x) = 4 – $\frac{1000}{x^2}$;

Trên khoảng (0; + ∞), S'(x) = 0 khi x = $5\sqrt{10}$.

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=+\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=+\infty$

Bảng biến thiên:

d) Để dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhỏ nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $500+\frac{200\sqrt{10}}{5}$ tại x = $5\sqrt{10}$.

Với x = $5\sqrt{10}$, ta có y = $\frac{250}{5\sqrt{10}}=5\sqrt{10}$.

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là 2 cm, $5\sqrt{10}$cm, $5\sqrt{10}$cm thì dùng ít vật liệu nhất.

Bài tập

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x³ + x – 2;

b) y = 2x³ + x² – $\frac{1}{2}x$ – 3. 

Lời giải:

a) y = x³ + x – 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = 3x² + 1; y’ > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x³ + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).

b) y = 2x³ + x² – $\frac{1}{2}x$ – 3

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = 6x² + 2x – $\frac{1}{2}$; y’ = 0 ⇔ x = $-\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{1}{6}$.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{6};+\infty \right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-\frac{1}{2}$ và y_CĐ = $-\frac{11}{4}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{6}$ và y_CT = $-\frac{329}{108}$.

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{3}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{3}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 3 nên (0; – 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ 2x³ + x² – $\frac{1}{2}x$ – 3 = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm $\left(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}\right)$ là cực đại và điểm $\left(\frac{1}{6};-\frac{329}{108}\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(-\frac{1}{6};-\frac{313}{108}\right)$.

Bài 2 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y” = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = x³ – 3x² + 2. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có y’ = 3x² – 6x; y” = 6x – 6;      

          y” = 0 ⇔ x = 1.

Với x = 1, ta có y(1) = 0.

Vậy I(1; 0).

b) Ta có y’ = 0 ⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y_CĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y_CT = – 2.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 2) và (2; – 2).

Ta thấy $\left\{\begin{array}{l}\frac{0+2}{2}=1\\ \frac{2+\left(-2\right)}{2}=0\end{array}\right.$. Vậy điểm I(1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$;

b) $y=\frac{x-3}{1-x}$.

Lời giải:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-1}{x^2}$. Vì y’ < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=3;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=3$. Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=-\infty ;\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ 3 + $\frac{1}{x}$ = 0 $\iff x=-\frac{1}{3}$ nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm $\left(-\frac{1}{3};0\right)$.

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 2) và (1; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 3). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3.

b) $y=\frac{x-3}{1-x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-2}{{\left(1-x\right)}^2}$. Vì y’ < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-3}{1-x}=-1;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-3}{1-x}=-1$. Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-3}{1-x}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{1-x}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có x = 0 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; – 3).

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x-3}{1-x}=0$ ⇔ x = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (3; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = – 1.

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1};$

b) $y=2x-\frac{1}{1-2x}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$. Ta có y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = – 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=+\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x\left(x-1\right)}=1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-2x+2}{x-1}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x-1}=-1$.

Suy ra đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x+2}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 2).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x – 1. 

b) $y=2x-\frac{1}{1-2x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\$\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $2-\frac{2}{{\left(1-2x\right)}^2}$. Ta có y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $\left(0;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};1\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = – 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=+\infty$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{1-2x}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-2x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{1-2x}=0$. Suy ra đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=-\infty ;\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }\left(2x-\frac{1}{1-2x}\right)=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I$\left(\frac{1}{2};1\right)$.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = $\frac{1}{2}$ và y = 2x. 

Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}$.

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y’ = $\frac{-x^2-4x+5}{{\left(x+2\right)}^2}$. Ta có y’ = 0 ⇔ x = – 5 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; – 5) và (1; + ∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 5; – 2) và (– 2; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 5 và y_CT = 13.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và y_CĐ = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }=\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=-\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x\left(x+2\right)}=-1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{-x^2+3x+1}{x+2}-\left(-1\right)x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x+1}{x+2}=5$.

Suy ra đường thẳng y = – x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to -2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{-x^2+3x+1}{x+2}=-\infty$.

Suy ra đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm và đi qua các điểm (– 5; 13), (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 2; 7).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 2 và y = – x + 5. 

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 5; 13) và (1; 1).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{-5+1}{2}=-2\\ \frac{13+1}{2}=7\end{array}\right.$. Vậy tọa độ trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 2; 7), đây chính là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số.

Vậy trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Bài 6 trang 36 Toán 12 Tập 1: Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là x, 6 – 2x và 6 – 2x (dm).

Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Thể tích của chiếc hộp là V(x) = x(6 – 2x)² (dm³)          (0 < x < 3).

b) Xét hàm số V(x) = x(6 – 2x)² với x ∈ (0; 3).

1. Tập xác định: D = (0; 3).

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm V'(x) = (6 – 2x)² + x ∙ 2(6 – 2x) ∙ (– 2) = (6 – 2x)(6 – 6x).

Trên khoảng (0; 3), ta có V'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (0; 1), V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (1; 3), V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại x = 1, y_CĐ = 16.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 16) và (2; 8).

Đồ thị hàm số V(x) trên khoảng (0; 3) được biểu diễn như hình dưới đây.

Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm x₀ ∈ (0; 3) sao cho V(x₀) có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng (0; 3) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất là $\underset{\left(0;3\right)}{\max }V\left(x\right)=16$.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là 1 dm thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.  

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài tập cuối chương I

Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2. Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Xét sự biến thiên của hàm số Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) Lập BBT của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng 3. Vẽ đồ thị của hàm số Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (trong trường hợp đơn giản), … Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có)

2. Khảo sát hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-4$

1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
• Trên khoảng $\left(0;2\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại
• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$
• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;4\right)$
• Ta có: y = 0 $\iff$x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(2;0\right)$
• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; – 2} \right)\

3. Khảo sát hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\prime }=-\frac{3}{{(x-2)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$
• Hàm số không có cực trị
• Tiệm cận: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=1;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\mathrm{\infty }=1$

                  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1

• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

4. Khảo sát hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}(a\ne 0,p\ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$

• Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{{(x-2)}^2}$ . Vậy y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3
• Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này
• Trên các khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này
• Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với $y_{CT}=5$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$; $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1

• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$
• Ta có: $y=0\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;3\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(t)

c) Đạo hàm của hàm số y = f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm ?

Giải:

a) Ta có: $f(52)=\frac{26.52+10}{52+5}=\frac{1362}{57}\approx 23,895$ (nghìn người)

Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23895 nghìn người

b)

1) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)=26$. Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• BBT:

$f^{\prime }(t)=\frac{120}{{(t+5)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;2)
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;6). Vậy đồ thị hàm số $y=f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$, $t\ge 0$ được cho ở hình vẽ sau

c)

• Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó là:

$f^{\prime }(52)=\frac{120}{{(52+5)}^2}=\frac{40}{1083}$

• Ta có:

$f^{\prime }(t)=0,192\iff \frac{120}{{(t+5)}^2}=0,192\iff (t+5{)}^2=625\iff t=20$ (do $t\ge 0$)

Vậy vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.