Sách bài tập Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt phẳng

Giải SBT Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 1 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow{a}=\left(4;0;1\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(2;1;1\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của (Q).

Lời giải:

Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là:

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4& 0\\ 2& 1\end{array}\right|\right)=\left(-1;-2;4\right)$

Do đó, (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(-1;-2;4\right)$

Bài 2 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;1;-2\right)$

b) (P) đi qua điểm N(−2; 3; 0) và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;1;1\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(3;0;4\right)$

c) (P) đi qua ba điểm A(1; 2; 2), B(5; 3; 2), C(2; 4; 2);

d) (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm M(3; 0; 0), N(0; 1; 0), P(0; 0; 2).

Lời giải:

a) Phương trình mặt phẳng (P) đó là: 3(x – 1) + 1(y – 2) + (−2)(z – 3) = 0 hay 3x + y – 2z + 1 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 0\end{array}\right|\right)$ = (4; −1; −3).

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=\left(4;-1;-3\right)$

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x + 2) – 1(y – 3) – 3(z – 0) = 0 hay 4x – y – 3z + 11 = 0.

c) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;1;0\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(1;2;0\right)$

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 0& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 2\end{array}\right|\right)$ = (0; 0; 7) = 7(0; 0; 1).

Do đó, $\overrightarrow{n}=\left(0;0;1\right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là: z – 2 = 0.

d) (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm M(3; 0; 0), N(0; 1; 0), P(0; 0; 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1$ hay 2x + 6y + 3z – 6 = 0.

Bài 3 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau: (P): x + y – z + 3 = 0, (Q): 2x + 2y – 2z + 99 = 0, (R): 3x + 3y + 6z + 7 = 0.

Lời giải:

Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;-1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;2;-2\right),\overrightarrow{n_3}=\left(3;3;6\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n_2}=\left(2;2;-2\right)=2\left(1;1;-1\right)=2\overrightarrow{n_1}$ và 99 ≠ 2.3 nên (P) ∥ (Q).

         $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_3}=1.3+1.3+\left(-1\right).6=0$ nên (P) ⊥ (R).

Vậy (P) ∥ (Q), (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R).

Bài 4 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 3) đến các mặt phẳng sau:

a) (P): 3x + 4z + 10 = 0;

b) (Q): 2x – 10 = 0;

c) (R): 2x + 2y + z – 3 = 0.

Lời giải:

a) d(A, (P)) = $\frac{\left|3.1+2.0+4.3+10\right|}{\sqrt{3^2+0^2+4^2}}=5$

b) d(A, (Q)) = $\frac{\left|2.1+2.0+3.0-10\right|}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}}=4$

c) d(A, (R)) = $\frac{\left|2.1+2.2+3.1-3\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}= 2$

Bài 5 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 12 = 0, (Q): 4x + 2y + 4z – 6 = 0.

a) Chứng minh (P) ∥ (Q).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

a) Xét hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 12 = 0, (Q): 4x + 2y + 4z – 6 = 0, ta có:

$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\ne \frac{12}{-6}$ nên (P) ∥ (Q).

b) Trên mặt phẳng (Q) lấy M(0; 1; 1) ∈ (Q).

Ta có: P((P), (Q)) = d(M, (P)) = $\frac{\left|2.0+1.1+2.1+12\right|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{15}{3}$ = 5

Bài 6 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có DA = 2, DC = 3, DD’ = 2. Tính khoảng cách từ đỉnh B’ đến mặt phẳng (BA’C’).

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm D.

Khi đó, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là D(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), C(0; 3; 0), B(2; 3; 0), D'(0; 0; 2), A'(2; 0; 2), B'(2; 3; 2), C'(0; 3; 2).

Mặt phẳng (BA’C’) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{B{A}^{‘}}=\left(0;-3;2\right)$, $\overrightarrow{B{C}^{‘}}=\left(-2;0;2\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{B{A}^{‘}},\overrightarrow{B{C}^{‘}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ 0& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -3\\ -2& 0\end{array}\right|\right)$ = (−6; −4; −6) = −2(3; 2; 3).

Do đó, $\overrightarrow{n}$ = (3; 2; 3). Phương trình mặt phẳng (BA’C’) là:

3(x – 2) + 2(y – 3) + 3z = 0 hay 3x + 2y + 3z – 12 = 0.

Khoảng cách từ đỉnh B’ đến mặt phẳng (BA’C’) là:

d(B’, (BA’C’)) = $\frac{\left|3.2+2.3+3.2-12\right|}{\sqrt{3^2+2^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$

Bài 7 trang 46 SBT Toán 12 Tập 2: Một kĩ sư xây dựng thiết kế khung một ngôi nhà trong không gian Oxyz như Hình 9 nhờ một phần mềm đồ họa máy tính.

a) Viết phương trình mặt phẳng mái nhà (DEMN).

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mái nhà (DEMN).

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{DE}=\left(6;0;0\right),\overrightarrow{DN}=\left(0;2;2\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DN}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 2& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 2\end{array}\right|\right)$ = (0; −12; 12) = −12(0; 1; −1).

Vậy $\overrightarrow{n}=\left(0;1;-1\right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DEMN).

Phương trình của mặt phẳng (DEMN) là 1(y – 0) – 1(z – 4) = 0 hay y – z + 4 = 0.

b) Ta có B(6; 4; 0) nên d(B,(DEMN)) = $\frac{\left|4+4\right|}{\sqrt{0^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện