Sách bài tập Toán 12 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 4

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 4

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng f'(x) = 8x³ – 4x + 2 và f(1) = 4. Hàm số f(x) là:

A. 2x⁴ – 2x² + x + 4.

B. 2x⁴ – 2x² + 2x + 2.

C. 8x⁴ – 4x² + x.

D. 8x⁴ – 4x² + x + 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f\left(x\right)=\int f^{‘}\left(x\right)dx=\int \left(8x^3-4x+2\right)dx$

                                       = 2x⁴ – 2x² + 2x + C.

Mà f(1) = 4 suy ra 2.1⁴ – 2.1² + 2. 1 + C = 4 hay C = 2

Vậy f(x) = 2x⁴ – 2x² + 2x + 2.

Bài 2 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = f(x) có đồ thị đi qua điểm (0; 2) và f'(x) = cosx – sinx. Giá trị của f(π) là:

A. −1.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài, hàm số y = f(x) đi qua điểm (0; 2) hay f(0) = 2.

Ta có: $f\left(\pi \right)-f\left(0\right)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx$

                         $=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$

                        $={\left.\left(\sin x+\cos x\right)\right|}_0^{\pi }=-2$

Suy ra f(π) = −2 + f(0) = −2 + 2 = 0.

Bài 3 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $\int 3^{2x}dx=9^x.\ln 9+C.$

B. $\int 3^{2x}dx=\frac{9^x}{2\ln 3}+C.$

C. $\int 3^{2x}dx={\left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)}^2+C.$

D. $\int 3^{2x}dx=\frac{3^{2x}}{\ln 3}+C.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int 3^{2x}dx=\int {\left(3^2\right)}^{x}dx=\int 9^{x}dx$

$=\frac{9^x}{\ln 9}+C=\frac{9^x}{2\ln 3}+C$

Bài 4 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=4\sqrt[3]{x}$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{8}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 45.

B. 80.

C. 15.

D. $18\sqrt[3]{3}-51$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{8}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$

         $=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{3}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx$

Suy ra $\underset{1}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{8}{\int }}4\sqrt[3]{x}dx$

          $=4\underset{1}{\overset{8}{\int }}{x}^{\frac{1}{3}}dx={\left.3x\sqrt[3]{x}\right|}_1^8$

           = 48 – 3 = 45.

Bài 5 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 3x – 1. Biết rằng a là số thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=a{\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right]}^2$. Giá trị của a là:

A. 2

B. $\frac{1}{4}.$

C. 4

D. $\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(3x-1\right)}^{2}dx$

          $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(9x^2-6x+1\right)dx$

         $={\left.\left(3x^3-3x^2+x\right)\right|}_0^1=1$

${\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right]}^2={\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x-1\right)dx\right]}^2$

$={\left[{\left.\left(\frac{3}{2}{x}^2-x\right)\right|}_0^1\right]}^2=\frac{1}{4}$

Nhận thấy 1 = 4. $\frac{1}{4}$ hay $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=4{\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right]}^2$

Vậy a = 4.

Bài 6 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 1) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm (x; f(x)) là 1 – 4x. giá trị của f(3) là:

A. −12.

B. −13.

C. −15.

D. −30.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo đề ta có: f(1) = 1 và f'(x) = 1 – 4x.

Ta có: $f\left(3\right)-f\left(1\right)=\underset{1}{\overset{3}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(1-4x\right)dx$

$={\left.\left(x-2x^2\right)\right|}_1^3=-14$

Suy ra f(3) = −14 + f(1) = −14 + 1 = −13.

Bài 7 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và thỏa mãn $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[3x^2-2f^{‘}\left(x\right)\right]dx=4;f\left(1\right)=-2$. Giá trị f(3) là:

A. 9.

B. 11.

C. −13.

D. 19.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[3x^2-2f^{‘}\left(x\right)\right]dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}3x^{2}dx-2\underset{1}{\overset{3}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx$

$={\left.x^3\right|}_1^3-{\left.2f\left(x\right)\right|}_1^3$

= 26 – 2[f(3) − f(1)] = 4.

Mà f(1) = −2 nên 26 – 2[f(3) + 2] = 4 suy ra f(3) = 9.

Bài 8 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = e^x – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln4 là:

A. 1.

B. 3.

C. 2ln2 – 1.

D. 3 – 4ln2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Bài 9 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho K là một khoảng trên ℝ; F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K; G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

a) Nếu F(x) = G(x) thì f(x) = g(x).

b) Nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in ℝ.$

d) $\int f^{‘}\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in ℝ.$

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Giả sử hàm F(x) = G(x) = ax³ + bx² + cx + d

Suy ra F'(x) = f(x) = 3ax² + 2bx + c ; G'(x) = g(x) = 3ax² + 2bx + c.

Do đó, nếu F(x) = g(x) thì f(x) = g(x).

b) Giả sử f(x) = g(x) = 3ax² + 2bx + c.

Lúc này $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1,C_1\in ℝ$

Tồn tại trường hợp C₁ ≠ C₂ nên không thể khẳng định nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C,C\in ℝ.$ $\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C_2,C_2\in ℝ.$

d) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K do đó F'(x) = f(x) và F”(x) = f'(x).

Do đó, $\int f^{‘}\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C,C\in ℝ.$ Do đó d) sai.

Bài 10 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

a) f(x) = 4 – 2x².

b) $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx.$

c) $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

d) $S=\frac{16}{3}.$

Lời giải:

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}a{.0}^2+b.0+c=4\\ a{.2}^2+b.2+c=0\\ a.{\left(-2\right)}^2+b.\left(-2\right)+c=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}c=4\\ 4a+2b=-4\\ 4a-2b=-4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\\ c=4\end{array}\right.$

Do đó y = f(x) = 4 – x².

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

$S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|4-x^2\right|dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$

$={\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-2}^2=\frac{32}{3}$

B. Tự luận

Bài 1 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x² – 6x + 2. Tìm hàm số y = f(x), biết đồ thị của nó đi qua điểm (−1; 1).

Lời giải:

Theo đề bài, ta có: f(−1) = 1 và f'(x) = 3x² – 6x + 2.

Ta có $f\left(x\right)=\int \left(3x^2-6x+2\right)dx=$ x³ – 3x² + 2x + C.

Mà f(−1) = 1 nên (−1)³ – 3.(−1)² + 2.(−1) + C = 1 hay C = 7.

Vậy f(x) = x³ – 3x² + 2x + 7.

Bài 2 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {\left(3x-\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx$

b) $\int \left(7x\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)dx$ (x > 0).

c) $\int {\left(3^{2x}-1\right)}^{2}dx$

d) $\int \left(2-3{\cos }^2\frac{x}{2}\right)dx$

Lời giải:

a) Ta có: $\int {\left(3x-\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx=\int \left(9x^2-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^4}\right)dx$

$=\int 9x^{2}dx-\int \frac{6}{x}dx+\int \frac{1}{x^4}dx$

$=3x^3-6\ln \left|x\right|-\frac{1}{3x^3}+C$

b) Ta có: $\int \left(7x\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)dx=\int \left(7x^{\frac{4}{3}}-x^{-\frac{3}{2}}\right)dx$

$=7.\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}-\left(-2\right)x^{-\frac{1}{2}}+C$

$=3x^2.\sqrt[3]{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+C$

c) Ta có: 

$\int {\left(3^{2x}-1\right)}^{2}dx=\int {\left(9^x-1\right)}^{2}dx=\int \left(9^{2x}-{2.9}^x+1\right)dx$

$=\int \left({81}^x-{2.9}^x+1\right)dx$

$=\frac{{81}^x}{\ln 81}-\frac{{2.9}^x}{\ln 9}+x+C$

$=\frac{3^{4x}}{4\ln 3}+\frac{3^{2x}}{\ln 3}+x+C$

d) Ta có:

$\int \left(2-3{\cos }^2\frac{x}{2}\right)dx=\int \left(2-3.\frac{1+\cos x}{2}\right)dx$

$=\int \left(2-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\cos x\right)dx$

$=\int \left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cos x\right)dx$

$=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\sin x+C$

Bài 3 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tính:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2}dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+1}{x}dx$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{8^x+1}{2^x+1}dx$

d) $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+{\sin }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}dx$

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^2}dx$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}\right)\right|}_1^2$

$=\ln 2+\frac{16}{3}.$

b) Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+1}{x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx$

$={\left.\left(e^x+\ln \left|x\right|\right)\right|}_1^2$

= e² − e + ln2.

c) Ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{8^x+1}{2^x+1}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(2^x+1\right)\left(4^x-2^x+1\right)}{\left(2^x+1\right)}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4^x-2^x+1\right)dx$

$={\left.\left(\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{2^x}{\ln 2}+x\right)\right|}_0^1$

$=\frac{4}{\ln 4}-\frac{2}{\ln 2}+1-\frac{1}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 2}$

$=1+\frac{1}{2\ln 2}$

d) Ta có:

$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+{\sin }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}dx=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}dx$

$=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}+1\right)dx$

$={\left.\left(-\cot x+x\right)\right|}_{{}_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}}=1+\frac{\pi }{4}$

Bài 4 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]. Tính $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$, biết rằng $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=4;\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=6;\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=3.$

Lời giải:

Ta có: $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 6 – 3 = 3.

$\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 4 + 3 = 7.

Vậy $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=7.$

Bài 5 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ. Tính $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx$.

Lời giải:

Quan sát đồ thị, ta thấy f(1) = 2 và f(−1) = −1.

Ta có: $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx={\left.f\left(x\right)\right|}_{-1}^1$

= f(1) – f(−1) = 2 – (−1) = 3.

Bài 6 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, có đạo hàm $f^{‘}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}4-3x^2,x<1\\ \mathrm{1,}x\ge 1.\end{array}\right.$. Tính f(2) – f(0).

Lời giải:

Ta có: f(2) – f(0) = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{‘}\left(x\right)dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4-3x^2\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx$

$={\left.\left(4x-x^3\right)\right|}_0^1+{\left.x\right|}_1^2=4$

Vậy f(2) – f(0) = 4.

Bài 7 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[3\cos x+2f^{‘}\left(x\right)\right]dx=-5;f\left(0\right)=1$. Tính giá trị $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[3\cos x+2f^{‘}\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}3\cos xdx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2f^{‘}\left(x\right)dx$

$={\left.3\sin x\right|}_0^{{}^{\frac{\pi }{2}}}+{\left.2f\left(x\right)\right|}_0^{{}^{\frac{\pi }{2}}}$

$=3+2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-2f\left(0\right)=-5$

Mà f(0) = 1 suy ra $3+2f\left(\frac{\pi }{2}\right)-2=-5$ hay $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3$

Bài 8 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị $y=\sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Lời giải:

Ta có: $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{x}dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx={\left.\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right|}_0^4=\frac{16}{3}.$

$S_1=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{x}dx={\left.\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right|}_0^a=\frac{2}{3}\sqrt{a^3}$

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên 

$S_1=\frac{S}{2}\iff \frac{2}{3}\sqrt{a^3}=\frac{8}{3}$

$\iff \sqrt{a^3}=4$

$\iff a^3=16\iff a=2\sqrt[3]{2}$

Bài 9 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 1 + x², trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục Ox.

Lời giải:

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(1+x^2\right)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1+2x^2+x^4\right)dx$

$={\left.\pi \left(x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{x^5}{5}\right)\right|}_{-1}^1=\frac{56\pi }{15}.$

Bài 10 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang cách chân cột x (m) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $1-\frac{\sqrt{x}}{4}$(m) với 0 ≤ x ≤ 9. Tính thể tích của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).

Lời giải:

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{9}{\int }}{\left(1-\frac{\sqrt{x}}{4}\right)}^{2}dx$

$=\pi \underset{0}{\overset{9}{\int }}\left(1-\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{16}x\right)dx$

$={\left.\pi \left(x-\frac{1}{3}x\sqrt{x}+\frac{1}{32}{x}^2\right)\right|}_0^9=\frac{81\pi }{32}$

Vậy $V=\frac{81\pi }{32}\approx \mathrm{7,95}$ (m)

Bài 11 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v₀ = 5 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi x = 3 m/s²

a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?

b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.

Lời giải:

a) Ta có:

Mà v(0) = v₀ = 5 nên 3.0 + C = 5 hay C = 5.

Suy ra v(t) = 3t + 5 (m/s), do đó v(5) = 3.5 + 5 = 20 (m/s).

b) Quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc là:

$s=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(3t+5\right)dt={\left.\left(\frac{3}{2}{t}^2+5t\right)\right|}_0^5$ = 62,5 (m).

Bài 12 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thỏa mãn công thức N'(t) = 0,2N(t), 0 ≤ t ≤ 5, trong đó t là thời gian tính theo ngày, N(t) là số cá thể muỗi tại thời điểm t. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2 000 cá thể.

a) Đặt y(t) = lnN(t), 0 ≤ t ≤ 5.

Chứng tỏ rằng y'(t) = 0,2. Từ đó, tìm N(t) với 0 ≤ t ≤ 5.

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải:

a) Ta có: $y^{‘}\left(t\right)={\left[\ln N\left(t\right)\right]}^{‘}$

$=\frac{N^{‘}\left(t\right)}{N\left(t\right)}=\frac{\mathrm{0,2}N\left(t\right)}{N\left(t\right)}=\mathrm{0,2.}$

Suy ra $y\left(t\right)=\int y^{‘}\left(t\right)dt=\int \mathrm{0,2}dt=\mathrm{0,2}t+C.$

Do đó, lnN(t) = 0,2t + C, suy ra N(t) = e^{0,2t + C} = C₀.e^0,2 (với C₀ = e^C).

Ta có: N(0) = 2 000, suy ra C₀ = 2 000.

Do đó, N(t) = 2 000.e^0,2t, 0 ≤ t ≤ 5.

b) Ta có: N(3) = 2 000. e^0,2.3 ≈ 3 600 (cá thể).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5