Sách bài tập Toán 12 Bài 11 (Kết nối tri thức): Nguyên hàm

Giải SBT Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

Bài 4.1 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm hàm số y = f(x), biết f'(x) = $3\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}$ (x > 0) và f(1) = 1

Lời giải:

Ta có: f(x) = $\int \mathrm{f}‘\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                  = $\int \left(3\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                  = $\int 3\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{2}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                  = 2x$\sqrt{\mathrm{x}}$ + 3$\sqrt[3]{{\mathrm{x}}^2}$ + C.

Mà f(1) = 1 nên 2 + 3 + C = 1 hay C = −4.

Vậy f(x) = 2x$\sqrt{\mathrm{x}}$ + 3$\sqrt[3]{{\mathrm{x}}^2}$ − 4.

Bài 4.2 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \sqrt{\mathrm{x}}\left(7{\mathrm{x}}^2+6\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                         = $\int \left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{2}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                         = $\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{2}{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                         = $-\frac{1}{\mathrm{x}}+4.\frac{{\mathrm{x}}^{-2}}{-2}+4.\frac{{\mathrm{x}}^{-3}}{-3}+\mathrm{C}$

                         = $-\frac{1}{\mathrm{x}}–\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}–\frac{4}{3{\mathrm{x}}^3}+\mathrm{C}$

b) $\int \sqrt{\mathrm{x}}\left(7{\mathrm{x}}^2+6\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(7{\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}+6\sqrt{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 7{\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 6\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $7\int {\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}+6\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $2{\mathrm{x}}^{\frac{7}{2}}+4{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\mathrm{C}$ 

                                  = $2{\mathrm{x}}^3\sqrt{\mathrm{x}}+4\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Bài 4.3 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(3\mathrm{x}+4\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \frac{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \left(3\mathrm{x}+4\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(3\mathrm{x}\sqrt[3]{\mathrm{x}}+4\sqrt[3]{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 3\mathrm{x}\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 4\sqrt[3]{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 3{\mathrm{x}}^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 4{\mathrm{x}}^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\frac{9}{7}{\mathrm{x}}^2\sqrt[3]{\mathrm{x}}+3\mathrm{x}\sqrt[3]{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

                                  = $\left(\frac{9}{7}{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}\right)\sqrt[3]{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

b) $\int \frac{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{4{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+9}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $\int \left(4\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}+12\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{9}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $\int 4\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 12\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{9}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $4\int {\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}+12\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}+9\int {\mathrm{x}}^{\frac{-1}{2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = $\frac{8}{5}{\mathrm{x}}^2\sqrt{\mathrm{x}}+8\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}+18\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

                            = $\left(\frac{8}{5}{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}+18\right)\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Bài 4.4 trang 7 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \left({\mathrm{x}}^2+2^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{3^{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = $\int 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 3^{-\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                  = 2e^x − $\frac{1}{3^{\mathrm{x}}.\ln 3}$ + C.

b) $\int \left({\mathrm{x}}^2+2^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 2^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                               = $\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{2^{\mathrm{x}}}{\ln 2}+\mathrm{C}$.

Bài 4.5 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int {\left(2^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int {\left(2^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(2^{2\mathrm{x}}+{2.6}^{\mathrm{x}}+3^{2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                              = $\int \left(4^{\mathrm{x}}+{2.6}^{\mathrm{x}}+9^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                              = $\int 4^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {2.6}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 9^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                              = $\frac{4^{\mathrm{x}}}{\ln 4}+\frac{{2.6}^{\mathrm{x}}}{\ln 6}+\frac{9^{\mathrm{x}}}{\ln 9} + \mathrm{C}$

b) $\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}.{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                = $\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int 2\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                = $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{2}-\frac{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}}{2}-2\mathrm{x}+\mathrm{C}$

Bài 4.6 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$;

b) $\int \left(3\sqrt{x}-4\sin x\right)dx$.

Lời giải:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$ = $\int 2\cos xdx+\int \frac{3}{\sqrt{x}}dx$

                                          = 2sinx + 6$\sqrt{x}$ + C.

b) $\int \left(3\sqrt{x}-4\sin x\right)dx$ = $\int 3\sqrt{x}dx-\int 4\sin xdx$

                                          = $2x\sqrt{x}+4\cos x+C.$

Bài 4.7 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a)$\int \left(\mathrm{x}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

b) $\int {\left(2\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

Lời giải:

a) $\int \left(\mathrm{x}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1-\cos \mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\int \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \frac{\cos \mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2+\frac{1}{2}\mathrm{x}-\frac{1}{2}\sin \mathrm{x}+\mathrm{C}$.

b) $\int {\left(2\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(4{\tan }^2\mathrm{x}+4\tan \mathrm{x}\cot \mathrm{x}+{\cot }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = $\int \left(\frac{4}{{\cos }^2\mathrm{x}}-4+4+\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}-1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = $\int \frac{4}{{\cos }^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}+\int \frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\int 1\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = 4tanx – cotx – x + C.

Bài 4.8 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Lời giải:

Độ cao h(t) của viên đạn tại điểm t là:

h(t) = $\int \left(150-9,8\mathrm{t}\right)\mathrm{d}\mathrm{t}$ = 150t – 9,8$\frac{{\mathrm{t}}^2}{2}$ + C = 150t – 4,9t² + C.

Thay t = 0 ta được h(0) = C = 0.

Vậy h(t) = 150t – 4,9t² (m).

a) Sau t = 3 giây, độ cao của viên đạn là:

h = h(3) = 150.3 – 4,9.3² = 405,9 (m).

b) Ta có: h(t) = 150t – 4,9t² (m).

               h'(t) = v(t) = 150 – 9,8t

               h'(t) = 0 ⇔ t = $\frac{150}{9,8}$.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Khi đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm t_max = $\frac{150}{9,8}$.

Như vậy h_max = 150t_max – 4,9${\mathrm{t}}_{\max }^2$≈ 1148,0 (m).

Bài 4.9 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x), x ∈ J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x) ∈ K với mọi x ∈ J. Tìm $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Áp dụng: Tìm $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\mathrm{d}\mathrm{x}$ và $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

Ta có: F'(u) = f(u), với mọi u ∈ K.

${\left[\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]}^{‘}$ = ${\mathrm{F}}^{‘}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)$.u'(x) = $\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)$, với mọi x ∈ J.

Do đó, $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right).{\mathrm{u}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\right)$ + C.

Áp dụng:

$\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\frac{1}{2}\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^5{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\frac{1}{2}.\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^6}{6}+\mathrm{C}$

                      = $\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^6}{12}+\mathrm{C}$.

$\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}}.\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\int \frac{1}{2\sqrt{2\mathrm{x}+1}}.{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{‘}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\mathrm{C}.$

Bài 4.10 trang 8 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\int \left(3+2{\sin }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\int \frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left[\frac{2\left(\mathrm{x}+1\right)-3}{\mathrm{x}+1}\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\int 2\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \frac{3}{\mathrm{x}+1}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = 2x – 3ln$\left|\mathrm{x}+1\right|$ + C.

b) $\int \left(3+2{\sin }^2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(3+2.\frac{1-\cos 2\mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}\right)$

                                 = $\int \left(3+1-\cos 2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = $\int \left(4-\cos 2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = 4x − $\int \cos 2\mathrm{x}.\frac{{\left(2\mathrm{x}\right)}^{‘}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                 = 4x −$\frac{\sin 2\mathrm{x}}{2}$ + C.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 11: Nguyên hàm

Bài 12: Tích phân

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 14: Phương trình mặt phẳng