Sách bài tập Toán 12 Bài 3 (Kết nối tri thức): Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1.21 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1Cho hàm số y=f(x)=x2+3x10x2 . Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng không?

Lời giải:

Ta có: limx2fx=limx2x2x+5x2limx2(x + 5) = 7.

Hơn nữa y = f(x) liên tục tại mọi điểm x ≠ 2. Do đó, đồ thị hàm f(x) không có tiệm cận đứng.

Bài 1.22 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) y = x+12x3;

b) y = 3x1x+2.

Lời giải:

a) Ta có: limxy=limxx+12x3=12 ;

               limx+y=limx+x+12x3=12 .

Do đó, đường thẳng y = 12  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

              limx32+y=limx32+x+12x3=+ ;

              limx32y=limx32x+12x3= .

Do đó, đường thẳng x = 32  là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Ta có: limxy=limx3x1x+2=3 ;

               limx+y=limx+3x1x+2=3 .

Do đó, đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

              limx2+y=limx2+3x1x+2= ;

              limx2y=limx23x1x+2=+ .

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 1.23 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) y=x2x5x2;

b) y = 3x2+8x2x+3.

Lời giải:

a) y=x2x5x2;

Ta có: limx2+y=limx2+x2x5x2= ;

           limx2y=limx2x2x5x2=+ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

            limx+yx=limx+x2x5x2x=1 .

            limx+yx=limx+x2x5x2x=limx+x5x2=1 .

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = 3x2+8x2x+3

Ta có: limx3+y=limx3+3x2+8x2x+3=+ ;

          limx3y=limx33x2+8x2x+3=

Do đó đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

           limx+yx=limx+3x2+8x2x+3x=3 .

           limx+y3x=limx+3x2+8x2x+33x=limx+x2x2=1.

Do đó đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.24 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau trang 19 SBT Toán 12 Tập 1

Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang và đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

limx2+y = −∞; limx2y  = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

limx+y = 3, do đó đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 1.25 trang 19 SBT Toán 12 Tập 1Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau trang 19 SBT Toán 12 Tập 1

Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=g(x)=12+f(x).

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: limx+f(x)  = 1 và limxf(x)  = −1.

Suy ra limx+g(x)  = limx+12+f(x)  = 13

          limxg(x)  = limx12+f(x)  = −1 

Do đó, đường thẳng y = −1 và y = 13  là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).  

Bài 1.26 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1Cho hàm số y=x+1x1  có đồ thị (C). Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Lời giải:

Ta có: limxy=limxx+1x1=1 ;

          limx+y=limx+x+1x1=1 .

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

          limx1+y=limx1+x+1x1=+ ;

          limx1y=limx1x+1x1= .

Do đó đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1.

Lấy M(x0; y0) ∈ (C) với y0=x0+1x01 .

Ta có: khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng là d1 = | x0 – 1|, khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = x0+1x011=2x01 .

Vậy tích khoảng cách là:d1d2 = x01 . 2x01  = 2.

Bài 1.27 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1Gọi I là giao điểm giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x+3x2 . Cho điểm K(3; 5), tính hệ số góc của đường thẳng qua I và K.

Lời giải:

Ta có: limx2+y=limx2+2x+3x2=+ ;

           limx2y=limx22x+3x2= .

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

          limxy=limx2x+3x2=2 ;

           limx+y=limx+2x+3x2=2 .

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra điểm I(2; 2).

Đường thẳng đi qua I(2; 2) và K(3; 5) có hệ số góc là: a = 5232=3 .

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm I và K là 3.

Bài 1.28 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1Cho hàm số y=f(x)=x2+3x1  có đồ thị như hình sau:

Cho hàm số y = f(x) trang 20 SBT Toán 12 Tập 1

Hãy tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

Ta có: limx1+fx=limx1+x2+3x1=+ ;

           limx1fx=limx1x2+3x1= .

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

          limxfx=limxx2+3x1=1 ;

           limx+fx=limx+x2+3x1=1 .

Do đó, đường thẳng y = 1 và y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 1.29 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1Cho hàm số y=f(x)=x+2x3  có đồ thị (C). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (x; y) ∈ (C), với x > 3, tới hai đường tiệm cận của (C) là g(x). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = g(x).

Lời giải:

Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3 và đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Khoảng cách từ điểm M(x; y) ∈ (C), x > 3 đến tiệm cận đứng là d1 = x – 3.

Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang là d2 = x+2x31=5x3 .

Vậy g(x) = d1 + d2 = x – 3 + 5x3 .

Ta có: limxgx=limxx3+5x3=. ;

          limx+gx=limx+x3+5x3=+.

Do đó đồ thị hàm số g(x) không có tiệm cận ngang

          limx3gx=limx3x3+5x3=. ;

          limx3+gx=limx3+x3+5x3=+.

Do đó, đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  limx+gx(x3)=limx+x3+5x3(x3)=limx+5x3=0.

Do đó đường thẳng y = x – 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 1.30 trang 20 SBT Toán 12 Tập 1Một bình chứa 200 ml dung dịch muối với nồng độ 5 mg/ml.

a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml.

b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10 mg/ml được không?

Lời giải:

a) Nồng độ dung dịch muối sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml là: C(x) = 200.5+10.x200+x=1000+10x200+x .

b) Để dung dịch muối với nồng độ 9mg/ml, ta phải thêm vào bình x ml với x thỏa mãn

C(x) = 9 ⇔ 1000+10x200+x = 9 ⇔ x = 800 (ml).

Ta có: C(x) = 1000+10x200+x

           C'(x) = 1000x+200  > 0, ∀x ∈ (0; +∞).

Hàm C(x) luôn đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Nhận thấy limx+C(x)=limx+1000+10x200+x=10 .

Do đó, nồng độ muối trong bình không thể đạt đến 10 mg/ml.

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y=y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu limx+f(x)=y0 hoặc limxf(x)=y0

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số y=f(x)=3x2x+1

Ta có: limx+3x2x+1=limx3x2x+1=3

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x=x0 gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:limxx0+f(x)=+;limxx0+f(x)=;limxx0f(x)=+;limxx0f(x)=;

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số y=f(x)=3xx+2

Ta có: limx2+3x2x+2=+

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y=ax+b(a0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

limx+f(x)=[f(x)(ax+b)]=0 hoặc limxf(x)=[f(x)(ax+b)]=0

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số y=f(x)=x+1x+2

Ta có: limx+[f(x)x]=limx+1x+2=0

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x

Sơ đồ tư duy Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài tập cuối chương 1

Bài 6: Vectơ trong không gian

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Lên đầu trang