Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Hoạt động khởi động trang 75 Toán 12 Tập 1: Có thể tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên không?

Hoạt động khởi động trang 75 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Sau bài học này, ta có thể tính được phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên như sau:

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Chiều cao (cm)

[160; 164)

[164; 168)

[168; 172)

[172; 176)

[176; 180)

Số học sinh

3

5

8

4

1

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Chiều cao đại diện (cm)

162

166

170

174

178

Tần số

3

5

8

4

1

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=3162+5166+8170+4174+117821=355021.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Hoạt động khởi động trang 75 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

8000441 ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: S=S2=8000441=405214,26 .

Hoạt động khám phá trang 75 Toán 12 Tập 1: a) Trong biểu đồ ở Hoạt động khởi động, cột thứ nhất biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 160 cm đến dưới 164 cm; cột thứ hai biểu diễn số lượng học sinh có chiều cao từ 164 cm đến dưới 168 cm, …

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu ở Hoạt động khởi động, xác định giá trị đại điện của mỗi nhóm và tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

b) Xét mẫu số liệu mới gồm các giá trị đại diện của các nhóm, tần số của mỗi giá trị đại diện bằng tần số của nhóm tương ứng. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới.

Lời giải:

a) Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm và tính được giá trị đại diện của mỗi nhóm như sau:

Chiều cao (cm)

[160; 164)

[164; 168)

[168; 172)

[172; 176)

[176; 180)

Số học sinh

3

5

8

4

1

Giá trị đại diện

162

166

170

174

178

Số học sinh nữ lớp 12 tham gia khảo sát là n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=3162+5166+8170+4174+117821=355021.

b) Ta có bảng thống kê mẫu số liệu mới:

Giá trị đại diện

162

166

170

174

178

Số học sinh

3

5

8

4

1

Cỡ mẫu n = 21.

Giá trị trung bình x¯=355021 .

Phương sai của mẫu số liệu mới là:

Hoạt động khám phá trang 75 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

8000441 ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới là: S=S2=8000441=405214,26 .

Thực hành 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm ở Hoạt động khởi động (trang 75).

Lời giải:

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Chiều cao (cm)

[160; 164)

[164; 168)

[168; 172)

[172; 176)

[176; 180)

Số học sinh

3

5

8

4

1

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Chiều cao đại diện (cm)

162

166

170

174

178

Tần số

3

5

8

4

1

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=3162+5166+8170+4174+117821=355021.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Thực hành 1 trang 82 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

8000441 ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: S=S2=8000441=405214,26 .

Thực hành 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân hai bạn đi mỗi ngày trong một tháng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Số bước (đơn vị: nghìn)

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

Số ngày của Mai

6

7

6

6

5

Số ngày của Ngọc

2

5

13

8

2

a) Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn nào có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Số bước (đơn vị: nghìn)

[3; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

Số bước đại diện

4

6

8

10

12

Số ngày của Mai

6

7

6

6

5

Số ngày của Ngọc

2

5

13

8

2

• Xét mẫu số liệu của Mai:

Cỡ mẫu là nM = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯M=64+76+68+610+51230=7,8.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SM2=130(6 ∙ 42 + 7 ∙ 62 + 6 ∙ 82 + 6 ∙ 102 + 5 ∙ 122) – (7,8)2 = 7,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SM=SM2=7,56=32152,75.

• Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Cỡ mẫu là nN = 2 + 5 + 13 + 8 + 2 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯N=24+56+138+810+21230=8,2.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SN2=130(2 ∙ 42 + 5 ∙ 62 + 13 ∙ 82 + 8 ∙ 102 + 2 ∙ 122) – (8,2)2 ≈ 3,83.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SN=SN23,831,96.

b) Ta thấy SN ≈ 1,96 < SM ≈ 2,75.

Do đó, nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

Bài tập

Bài 1 trang 82 Toán 12 Tập 1: Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Cự li (m)

[19; 19,5)

[19,5; 20)

[20; 20,5)

[20,5; 21)

[21; 21,5)

Tần số

13

45

24

12

6

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Ta có bảng sau:

Cự li (m)

[19; 19,5)

[19,5; 20)

[20; 20,5)

[20,5; 21)

[21; 21,5)

Giá trị đại diện

19,25

19,75

20,25

20,75

21,25

Tần số

13

45

24

12

6

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=1319,25+4519,75+2420,25+1220,75+621,25100=20,015.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2=1100[13 ∙ (19,25)2 + 45 ∙ (19,75)2 + 24 ∙ (20,25)2

+ 12 ∙ (20,75)2 + 6 ∙ (21,25)2] – (20,015)2 ≈ 0,277.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S20,2770,526.

Bài 2 trang 82 Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ bên.

a) Hãy cho biết có bao nhiêu máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ?

b) Hãy xác định số trung bình và độ lệch chuẩn của thời gian sử dụng pin.

Bài 2 trang 82 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Từ biểu đồ ta thấy có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Thời gian (giờ)

[7,2; 7,4)

[7,4; 7,6)

[7,6; 7,8)

[7,8; 8,0)

Giá trị đại diện

7,3

7,5

7,7

7,9

Số máy vi tính

2

4

7

5

Cỡ mẫu là n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=27,3+47,5+77,7+57,9187,667.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2=118[2 ∙ (7,3)2 + 4 ∙ (7,5)2 + 7 ∙ (7,7)2 + 5 ∙ (7,9)2] – (7,667)2 ≈ 0,032.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S20,0320,179.

Bài 3 trang 83 Toán 12 Tập 1: Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4.

c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải:

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

42 43,4 43,4 46,5 46,7 46,8 47,5 47,7 48,1 48,4

Do đó, Q1=46,7+46,82=46,75 .

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

50,8 52,1 52,7 53,9 54,8 55,6 57,5 59,6 60,3 61,1

Do đó, Q3=54,8+55,62=55,2.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

Q = Q3 – Q1 = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

x¯=42+43,4+43,4+46,5++60,3+61,120=50,945.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S2 = 120 [422 + (43,4)2 + (43,4)2 + … + (60,3)2 + (61,1)2] – (50,945)2 ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

S=S232,25,675.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tốc độ (km/h)

[42; 46)

[46; 50)

[50; 54)

[54; 58)

[58; 62)

Số xe

3

7

4

3

3

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R’ =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x1; x2; …; x20 là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; x2; x3 ∈ [42; 46), x4; …; x10 ∈ [46; 50), x11; …; x14 ∈ [50; 54),

   x15; …; x17 ∈ [54; 58), x18; x19; x20 ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12x5+x6 ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1=46+204375046=3307.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12x15+x16 ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3=54+32043+7+435854=1663.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆’Q = Q’3 – Q’1 = 16633307=17221 ≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Tốc độ (km/h)

[42; 46)

[46; 50)

[50; 54)

[54; 58)

[58; 62)

Giá trị đại diện

44

48

52

56

60

Số xe

3

7

4

3

3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=344+748+452+356+36020=51,2.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S’2 = 120 (3 ∙ 442 + 7 ∙ 482 + 4 ∙ 522 + 3 ∙ 562 + 3 ∙ 602) – (51,2)2 = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S2=26,56=216655,154.

Bài 4 trang 83 Toán 12 Tập 1: Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào 5 năm tuổi ở bảng sau:

Đường kính (cm)

[30; 32)

[32; 34)

[34; 36)

[36; 38)

[38; 40)

Số cây trồng ở địa điểm A

25

38

20

10

7

Số cây trồng ở địa điểm B

22

27

19

18

14

a) Hãy so sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A và địa điểm B.

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Đường kính (cm)

[30; 32)

[32; 34)

[34; 36)

[36; 38)

[38; 40)

Giá trị đại diện

31

33

35

37

39

Số cây trồng ở địa điểm A

25

38

20

10

7

Số cây trồng ở địa điểm B

22

27

19

18

14

Cỡ mẫu: nA = 25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100; nB = 22 + 27 + 19 + 18 + 14 = 100.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

x¯A=2531+3833+2035+1037+739100=33,72.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

x¯B=2231+2733+1935+1837+1439100=34,5.

Vì x¯A=33,72<x¯B=34,5 nên đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.

b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

SA2=1100(25 ∙ 312 + 38 ∙ 332 + 20 ∙ 352 + 10 ∙ 372 + 7 ∙ 392) – (33,72)2 ≈ 5,402.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

SA=SA25,4022,324.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

SB2=1100(22 ∙ 312 + 27 ∙ 332 + 19 ∙ 352 + 18 ∙ 372 + 14 ∙ 392) – (34,5)2 = 7,31.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

SB=SB2=7,31=731102,704.

Vì SA ≈ 2,324 < SB ≈ 2,704 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

Bài 1. Nguyên hàm

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

– Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là một số được tính theo công thức sau:

s2=m(x1x¯)2+...+mk(xkx¯)2n

Trong đó, n=m1+...+mkxi=ai+ai+12 với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm [ai;ai+1) và x¯=m1x1+...+mkxkn là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

– Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là s=s2.

2. Ý nghĩa

– Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

– Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Lên đầu trang