Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Tích phân

Giải bài tập Toán 12 Bài 2: Tích phân

Hoạt động khởi động trang 12 Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang di chuyển với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời gian t (giây) được tính theo công thức v(t) = 20 – 5t (0 ≤ t ≤ 4). Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Xe dừng khi v(t) = 20 – 5t = 0 ⇔ t = 4.

Quãng đường xe di chuyển từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng là:

s=04vtdt=04205tdt=20t5t2204=40 (m).

Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = x + 1. Với mỗi x ≥ 1, kí hiệu S(x) là diện tích của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với Ox tại các điểm có hoành độ 1 và x.

a) Tính S(3).

b) Tính S(x) với mỗi x ≥ 1.

c) Tính S'(x). Từ đó suy ra S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chứng tỏ rằng F(3) – F(1) = S(3). Từ đó nhận xét về cách tính S(3) khi biết một nguyên hàm của f(x).

Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a)

Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(3; 4), D(1; 2).

Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.

Do đó S3=SABCD=AD+BC.AB2=2+4.22=6.

b)

Hoạt động khám phá 1 trang 12 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).

Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.

Do đó Sx=SABCD=AD+BC.AB2=x+3x12=x2+2x32 , x ≥ 1.

c) Có Sx=x2+2x32=2x+22=x+1=fx.

Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên

Fx=x+1dx=x22+x+C.

Do đó F3=322+3+C=152+CF1=122+1+C=32+C.

Suy ra F3F1=152+C32+C=6=S3.

Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).

Thực hành 1 trang 13 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = ex, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 (Hình 4).

Thực hành 1 trang 13 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Ta có hàm số y = ex liên tục, dương trên đoạn [0; 1] .

Ta có exdx=ex+C. Suy ra một nguyên hàm của hàm số y = ex là F(x) = ex.

Do đó diện tích hình thang cong cần tính là:

S = F(1) – F(0) = e – 1.

Hoạt động khám phá 2 trang 14 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x – 1. Lấy hai nguyên hàm tùy ý F(x) và G(x) của f(x), rồi tính F(3) – F(0) và G(3) – G(0). Nhận xét về kết quả nhận được.

Lời giải:

Ta có 2x1dx=x2x+C.

Giả sử F(x) = x2 – x; G(x) = x2 – x + 1 là hai nguyên hàm của f(x).

Ta có F(3) – F(0) = 6; G(3) – G(0) = 7 – 1 = 6.

Do đó F(3) – F(0) = G(3) – G(0).

Thực hành 2 trang 16 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 132xdx;

b) 0πsintdt;

c) 0ln2eudu.

Lời giải:

a) 132xdx=x213=91=8

b) 0πsintdt=cost0π=1+1=2

c) 0ln2eudu=eu0ln2=eln2e0=21=1.

Vận dụng 1 trang 16 Toán 12 Tập 2: Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ vt=2t0,03t20t10, trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo giây với t = 0 là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10.

Lời giải:

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là:

st=05vtdt=052t0,03t2dt=t20,01t305= 23,75m.

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là:

st=010vtdt=0102t0,03t2dt=t20,01t3010=90m.

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian t = 0 đến t = 10 là:

1100010vtdt=1100102t0,03t2dt=110t20,01t3010=9m/s.

Hoạt động khám phá 3 trang 16 Toán 12 Tập 2: a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x5. Từ đó, tính 026x5dx.

b) Tính J=02x5dx.

c) Có nhận xét gì về giá trị của I và 6J.

Lời giải:

a) Ta có 6x5dx=x6+C.

Do đó F(x) = x6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 6x5.

Ta có 026x5dx=x602=64.

b) J=02x5dx=x6602=646.

c) Ta có I = 6J = 64.

Thực hành 3 trang 17 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 114x7dx;

b) 21310xdx;

c) 025x12dx.

Lời giải:

a) 114x7dx=411x7dx=x8211=x8211=1212=0;

b) 21310xdx=310211xdx=310lnx21=310ln2;

c) 025x12dx=110025xdx=110.5xln502=2410ln5.

Hoạt động khám phá 4 trang 17 Toán 12 Tập 2: a) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x2 + ex. Từ đó, tính 01x2+exdx.

b) Tính 01x2dx+01exdx.

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Lời giải:

a) Ta có x2+exdx=x2dx+exdx=x33+ex+C.

Fx=x33+ex là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 + ex.

Ta có 01x2+exdx=x33+ex01=13+e1=e23.

b) 01x2dx+01exdx=x3301+ex01=13+e1=e23.

c) Ta có 01x2+exdx=01x2dx+01exdx=e23.

Thực hành 4 trang 18 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 12x1x2dx;

b) 0π1+2sin2x2dx;

c) 21x22dx+214xx2dx

Lời giải:

a) 12x1x2dx=121x1x2dx=121xdx121x2dx

=lnx12+1x12=ln2ln1+121=ln212.

b) 0π1+2sin2x2dx=0π2cosxdx=0π2dx0πcosxdx

=2x0πsinx0π=2π.

c) 21x22dx+214xx2dx=21x22+4xx2dx

=21x24x+4+4xx2dx=214dx=4x21=12 

Vận dụng 2 trang 18 Toán 12 Tập 2: Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P'(x), gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩn bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức P'(x) = 16 – 0,02x với 0 ≤ x ≤ 100. Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Lời giải:

Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán x sản phẩm trong tuần là:

Px=160,02xdx=16x0,01x2+C

Vì P(0) = −25 nên 16.0 – 0,01.02 + C = −25 Þ C = −25.

Do đó P(x) = −0,01x2 + 16x – 25.

Lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần là:

P(90) = −0,01.902 + 16.90 – 25 = 1334 triệu đồng.

Hoạt động khám phá 5 trang 18 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x. Tính và so sánh kết quả: 02fxdx và 01fxdx+12fxdx

Lời giải:

02fxdx=022xdx=x202=4.

01fxdx+12fxdx=012xdx+122xdx=x201+x212=1+41=4.

Do đó 02fxdx=01fxdx+12fxdx

Thực hành 5 trang 19 Toán 12 Tập 2: Tính:

a) 1124x35dx1124x35dx;

b) 03x1dx;

c) 0πcosxdx

Lời giải:

a) 1124x35dx1124x35dx=1124x35dx+1214x35dx=114x35dx

=x45x11=46=10

b) 03x1dx=01x1dx+13x1dx=011xdx+13x1dx

=xx2201+x22x13=12+32+12=52

c) 0πcosxdx=0π2cosxdx+π2πcosxdx=0π2cosxdxπ2πcosxdx

=sinx0π2sinxπ2π=1+1=2

Vận dụng 3 trang 19 Toán 12 Tập 2: Biết rằng tốc độ v (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian t (phút) như sau: vt=0,5t,       0t<2,1,            2t<15,40,2t,  15t20.

Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Vận dụng 3 trang 19 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút là:

st=020vtdt=020,5tdt+215dt+152040,2tdt

=0,25t202+t215+4t0,1t21520

= 1 + 15 – 2 + 40 – 37,5

= 16,5 km.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (Hình 7);

b) Đồ thị hàm số y=1x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (Hình 8).

Bài 1 trang 20 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Vì y = x2 liên tục và không âm trên [0; 2] nên ta có:

S=02x2dx=x3302=83.

b) Vì y=1x liên tục và không âm trên [1; 3] nên ta có:

S=131xdx=lnx13=ln3ln1=ln3.

Bài 2 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 12x4dx;

b) 121xdx;

c) 0π41cos2xdx;

d)023xdx

Lời giải:

a) 12x4dx=x5512=32515=315

b) 121xdx=12x12dx=2x12=222

c) 0π41cos2xdx=tanx0π4=1

d)023xdx=3xln302=9ln31ln3=8ln3

Bài 3 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 24x+1x1dx;

b) 12x22x+1xdx;

c) 0π23sinx2dx;

d) 0π2sin2x1+cosxdx

Lời giải:

a) 24x+1x1dx=24x21dx=24x2dx24dx=x33x24=523+23=543=18

b) 12x22x+1xdx=12x+1x2dx=x22+lnx2x12

=2+ln2+32ln1=ln212

c) 0π23sinx2dx=30π2sinxdx20π2dx=3cosx2x0π2=π+3

d) 0π2sin2x1+cosxdx=0π21cos2x1+cosxdx=0π21cosxdx=0π2dx0π2cosxdx

=xsinx0π2=π21

Bài 4 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 212x+2dx;

b) 04x24dx;

c) π2π2sinxdx

Lời giải:

a) 212x+2dx=212x+2dx+112x+2dx=221x+1dx+211x+1dx

=x2+2x21+x2+2x11=1+3+1=5

b) 04x24dx=02x24dx+24x24dx=024x2dx+24x24dx

=4xx3302+x334x24=163+163+163=16

c) π2π2sinxdx=π20sinxdx+0π2sinxdx=π20sinxdx+0π2sinxdx

=cosxπ20cosx0π2=1+1=2

Bài 5 trang 20 Toán 12 Tập 2: Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở 150°C. Biết rằng nhiệt độ T(°C) tại điểm A trên thành ống là hàm số của khoảng cách x (cm) từ A đến tâm của mặt cắt và Tx=30x6x8.

(Nguồn: Y.A.Cengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, McGraw Hill, 2015)

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.

Bài 5 trang 20 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Nhiệt độ tại điểm A trên thành ống là

Tx=30xdx=30lnx+C.

Vì T(6) = 150°C nên −30ln6 + C = 150 => C = 150 + 30ln6.

Do đó T(x) = −30ln|x| + 150 + 30ln6.

Nhiệt độ ngoài mặt ống là T(8) = −30ln8 + 150 + 30ln6 ≈ 141,37°C.

Bài 6 trang 20 Toán 12 Tập 2: Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức: vt=t,             0t2,2,             2<t20,120,5t,   20<t24.

Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.

Lời giải:

Quãng đường chuyển động của thang máy là:

s=024vtdt=02tdt+2220dt+2024120,5tdt

=t2202+2t220+12t14t22024

=2+404+144140= 42 m.

Tốc độ trung bình của thang máy là: vtb=s24=4224=1,75(m/s).

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1. Nguyên hàm

Bài 2. Tích phân

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương IV

Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Lên đầu trang