Giải SGK Toán 12 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 3

Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương III

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 84 Toán 12 Tập 1: Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 1,5.

B. 0,9.

C. 0,6.

D. 0,3.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 0,9.

B. 0,975.

C. 0,5.

D. 0,575.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 3,39.

B. 11,62.

C. 0,1314.

D. 0,36.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 3,41.

B. 11,62.

C. 0,017.

D. 0,36.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là R = 4,2 – 2,7 = 1,5 (km).

b) Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu n = 20.

Gọi x1; x2; …; x20 là mẫu số liệu gốc về quãng đường đi bộ mỗi ngày của bác Hương trong 20 ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; x2; x3 ∈ [2,7; 3,0), x4; …; x9 ∈ [3,0; 3,3), x10; …; x14 ∈ [3,3; 3,6),

   x15; …; x18 ∈ [3,6; 3,9), x19; x20 ∈ [3,9; 4,2).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12x5+x6 ∈ [3,0; 3,3).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 3,0 + 20436.(3,3-3,0) = 3,1.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12x15+x16 ∈ [3,6; 3,9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 3,6 + 32043+6+54.(3,9-3,6) = 3,675.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 3,675 – 3,1 = 0,575.

c) Đáp án đúng là: C

Ta có bảng sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Giá trị đại diện

2,85

3,15

3,45

3,75

4,05

Số ngày

3

6

5

4

2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=32,85+63,15+53,45+43,75+24,0520=3,39.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = 120 [3 ∙ (2,85)2 + 6 ∙ (3,15)2 + 5 ∙ (3,45)2 + 4 ∙ (3,75)+ 2 ∙ (4,05)2] – (3,39)2

= 0,1314.

d) Đáp án đúng là: D

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S2=0,13140,36.

Bài 2 trang 84 Toán 12 Tập 1: Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 25.

B. 20.

C. 15.

D. 30.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 23,75.

B. 27,5.

C. 31,88.

D. 8,125.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 31,77.

B. 32.

C. 31.

D. 31,44.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 45 – 20 = 25 (phút).

b) Đáp án đúng là: D

Cỡ mẫu n = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18.

Gọi x1; x2; …; x18 là mẫu số liệu gốc về thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn Chi được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x6 ∈ [20; 25), x7; …; x12 ∈ [25; 30), x13; …; x16 ∈ [30; 35),

x17 ∈ [35; 40), x18 ∈ [40; 45).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x5 ∈ [20; 25).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 20 + 1846.(25-20) = 23,75.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x14 ∈ [30; 35).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 30 + 31846+64.(35-30) = 31,875.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 31,875 – 23,75 = 8,125.

c) Đáp án đúng là: D

Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Giá trị đại diện

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

Số ngày

6

6

4

1

1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=622,5+627,5+432,5+137,5+142,518=853.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = 118 [6 ∙ (22,5)2 + 6 ∙ (27,5)2 + 4 ∙ (32,5)2 + 1 ∙ (37,5)+ 1 ∙ (42,5)2] – 8532

= 31,25.

Bài 3 trang 85 Toán 12 Tập 1: Dũng là học sinh rất giỏi chơi rubik, bạn có thể giải nhiều loại khối rubik khác nhau. Trong một lần tập luyện giải khối rubik 3 × 3, bạn Dũng đã tự thống kê lại thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp ở bảng sau:

Thời gian giải rubik (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Số lần

4

6

8

4

3

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm nhận giá trị nào trong các giá trị dưới đây?

A. 6.

B. 8.

C. 10.

D. 12.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 10,75.

B. 1,75.

C. 3,63.

D. 14,38.

c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 5,98.

B. 6.

C. 2,44.

D. 2,5.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 18 – 8 = 10 (giây).

b) Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x1; x2; …; x25 là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần giải liên tiếp được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x4 ∈ [8; 10), x5; …; x10 ∈ [10; 12), x11; …; x18 ∈ [12; 14),

   x19; …; x22 ∈ [14; 16), x23; …; x25 ∈ [16; 18).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12 (x6 + x7) ∈ [10; 12).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 10 + 25446.(12-10) = 10,75.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12 (x19 + x20) ∈ [14; 16).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 14 + 32544+6+84.(16-14) = 14,375.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 14,375 – 10,75 = 3,625 ≈ 3,63.

c) Đáp án đúng là: C

Ta có bảng sau:

Thời gian giải rubik (giây)

[8; 10)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18)

Giá trị đại điện

9

11

13

15

17

Số lần

4

6

8

4

3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=49+611+813+415+31725=12,68.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = 125 (4 ∙ 92 + 6 ∙ 112 + 8 ∙ 132 + 4 ∙ 15+ 3 ∙ 172) – (12,68)2 = 5,9776.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S2=5,97762,44.

Bài tập tự luận

Bài 4 trang 85 Toán 12 Tập 1: Một bác tài xế thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) bác đã lái xe mỗi ngày trong một tháng ở bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)

[50; 100)

[100; 150)

[150; 200)

[200; 250)

[250; 300)

Số ngày

5

10

9

4

2

Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R = 300 – 50 = 250 (km).

Cỡ mẫu n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30.

Gọi x1; x2; …; x30 là mẫu số liệu gốc về độ dài quãng đường bác tài xế đã lái xe mỗi ngày trong một tháng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x5 ∈ [50; 100), x6; …; x15 ∈ [100; 150), x16; …; x24 ∈ [150; 200),

   x25; …; x28 ∈ [200; 250), x29; x30 ∈ [250; 300).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x8 ∈ [100; 150).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 100 + 304510.(150-100) = 112,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x23 ∈ [150; 200).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 150 +33045+109.(200-150) = 5753.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 5753 – 112,5 = ≈ 79,17.

Ta có bảng sau:

Độ dài quãng đường (km)

[50; 100)

[100; 150)

[150; 200)

[200; 250)

[250; 300)

Giá trị đại diện

75

125

175

225

275

Số ngày

5

10

9

4

2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=575+10125+9175+4225+227530=155.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = 130 (5 ∙ 752 + 10 ∙ 1252 + 9 ∙ 1752 + 4 ∙ 225+ 2 ∙ 2752) – 1552 = 3 100.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S2=3100=103155,68.

Bài 5 trang 85 Toán 12 Tập 1: Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

Bài 5 trang 85 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Có bao nhiêu thửa ruộng đã được khảo sát?

b) Lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm tương ứng của mẫu số liệu trên.

c) Hãy xác định khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

a) Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Năng suất (tấn/ha)

[5,5; 5,7)

[5,7; 5,9)

[5,9; 6,1)

[6,1; 6,3)

[6,3; 6,5)

[6,5; 6,7)

Số thửa ruộng

3

4

6

5

5

2

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu:

Giá trị đại diện (tấn/ha)

5,6

5,8

6,0

6,2

6,4

6,6

Tần số tương đối

3

4

6

5

5

2

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là:

R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi x1; x2; …; x25 là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; x2; x3 ∈ [5,5; 5,7), x4; …; x7 ∈ [5,7; 5,9), x8; …; x13 ∈ [5,9; 6,1),

   x13; …; x18 ∈ [6,1; 6,3), x19; …; x23 ∈ [6,3; 6,5), x24; x25 ∈ [6,5; 6,7).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12 (x6 + x7) ∈ [5,7; 5,9).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 5,7 + 25434.(5,9-5,7) = 5,8625.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12 (x19 + x20) ∈ [6,3; 6,5).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 6,3 + 32543+4+6+55.(6,5-6,3) = 6,33.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 6,33 – 5,8625 = 0,4675.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯=35,6+45,8+66,0+56,2+56,4+26,625=6,088.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S2 = 125 [3 ∙ (5,6)2 + 4 ∙ (5,8)2 + 6 ∙ (6,0)2 + 5 ∙ (6,2)+ 5 ∙ (6,4)2 + 2 ∙ (6,6)2] – (6,088)2

= 0,086656.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S=S2=0,0866560,29.

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 1: Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)

[6; 7)

[7; 8)

[8; 9)

[9; 10)

[10; 11)

Số học sinh trường X

8

10

13

10

9

Số học sinh trường Y

4

12

17

14

3

a) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường nào viết nhanh hơn?

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

Thời gian (phút)

[6; 7)

[7; 8)

[8; 9)

[9; 10)

[10; 11)

Giá trị đại diện

6,5

7,5

8,5

9,5

10,5

Số học sinh trường X

8

10

13

10

9

Số học sinh trường Y

4

12

17

14

3

Cỡ mẫu nX = 8 + 10 + 13 + 10 + 9 = 50, nY = 4 + 12 + 17 + 14 + 3 = 50.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường X là:

x¯X=86,5+107,5+138,5+109,5+910,550=8,54.

Thời gian trung bình hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh trường Y là:

x¯Y=46,5+127,5+178,5+149,5+310,550=8,5.

Vì x¯X=8,54>x¯Y=8,5 nên nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường X:

Gọi x1; x2; …; x50 là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường X được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x8 ∈ [6; 7), x9; …; x18 ∈ [7; 8), x19; …; x31 ∈ [8; 9),

   x32; …; x41 ∈ [9; 10), x42; …; x50 ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x13 ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q1 = 7 + 504810.(8-7) = 7,45.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x38 ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q3 = 9 + 35048+10+1310.(10-9) = 9,65.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

Q = Q3 – Q1 = 9,65 – 7,45 = 2,2.

• Xét mẫu số liệu của học sinh trường Y:

Gọi y1; y2; …; y50 là mẫu số liệu gốc về thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 trường Y được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y1; …; y4 ∈ [6; 7), y5; …; y16 ∈ [7; 8), y17; …; y33 ∈ [8; 9),

   y34; …; y47 ∈ [9; 10), y48; y49; y50 ∈ [10; 11).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là y13 ∈ [7; 8).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

Q1=7+50441287=18524.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là y38 ∈ [9; 10).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

Q3=9+35044+12+1714109=26128.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

∆’Q = Q’3 – Q’1 = 2612818524=2711681,61 .

Vì ∆Q = 2,2 > ∆’Q ≈ 1,61 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c)

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

SX2=150[8 ∙ (6,5)2 + 10 ∙ (7,5)2 + 13 ∙ (8,5)2 + 10 ∙ (9,5)+ 9 ∙ (10,5)2] – (8,54)2

= 1,7584.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là:

SX=SX2=1,75841,33.

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

SY2=150[4 ∙ (6,5)2 + 12 ∙ (7,5)2 + 17 ∙ (8,5)2 + 14 ∙ (9,5)+ 3 ∙ (10,5)2] – (8,5)2

= 1,08.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của trường Y là:

SY=SY2=1,081,04.

Vì SX ≈ 1,33 > SY ≈ 1,04 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 1: Bảng sau thống kê lại tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm từ 2002 đến 2021 tại hai trạm quan trắc đặt ở Nha Trang và Quy Nhơn.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

(Nguồn: Tổng cục Thống kê)

a) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

b) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của địa phương nào đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Cỡ mẫu n = 20.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Gọi x1; x2; …; x20 là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1 ∈ [130; 160), x2 ∈ [160; 190), x3 ∈ [190; 220),

   x4; …; x11 ∈ [220; 250), x12; …; x18 ∈ [250; 280), x19; x20 ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12 (x5 + x6) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 220 + 2041+1+18.(250-220) = 227,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12 (x15 + x16) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 250 + 32041+1+1+87.(280-250) = 18707.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 18707 – 227,5 ≈ 39,64.

Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Gọi y1; y2; …; y20 là mẫu số liệu gốc về tổng số giờ nắng trong tháng 6 của các năm 2022 đến 2021 tại trạm quan trắc đặt ở Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có y1 ∈ [160; 190), y2; y3 ∈ [190; 220), y4; …; y7 ∈ [220; 250),

   y8; …; y17 ∈ [250; 280), y18; y19; y20 ∈ [280; 310).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là 12 (y5 + y6) ∈ [220; 250).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1=220+2041+24250220=235

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là 12(y15 + y16) ∈ [250; 280).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3=250+32041+2+410280250=274

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆’Q = Q’3 – Q’1 = 274 – 235 = 39.

Vì ∆Q ≈ 39,64 > ∆’Q = 39 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

b) Ta có bảng sau:

Số giờ nắng

[130; 160)

[160; 190)

[190; 220)

[220; 250)

[250; 280)

[280; 310)

Giá trị đại diện

145

175

205

235

265

295

Số năm ở Nha Trang

1

1

1

8

7

2

Số năm ở Quy Nhơn

0

1

2

4

10

3

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Nha Trang:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯N=1145+1175+1205+8235+7265+229520=242,5.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SN2=120(1 ∙ 1452 + 1 ∙ 1752 + 1 ∙ 2052 + 8 ∙ 235+ 7 ∙ 2652 + 2 ∙ 2952) – (242,5)2

= 1248,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SN=SN2=1248,7535,34.

• Xét mẫu số liệu của trạm quan trắc ở Quy Nhơn:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯Q=1175+2205+4235+10265+329520=253.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SQ2=120(1 ∙ 1752 + 2 ∙ 2052 + 4 ∙ 235+ 10 ∙ 2652 + 3 ∙ 2952) – 2532 = 936.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SQ=SQ2=93630,59.

Vì SN ≈ 35,54 > SN ≈ 30,59 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Bài 8 trang 86 Toán 12 Tập 1: Biểu đồ sau mô tả kết quả điều tra về điểm trung bình năm học của học sinh hai trường A và B.

Bài 8 trang 86 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Hãy xác định giá trị đại điện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

c) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

Lời giải:

a) Giá trị đại diện của nhóm [5; 6) là 5,5.

Giá trị đại diện của nhóm [6; 7) là 6,5.

Giá trị đại diện của nhóm [7; 8) là 7,5.

Giá trị đại diện của nhóm [8; 9) là 8,5.

Giá trị đại diện của nhóm [9; 10) là 9,5.

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Điểm trung bình

[5; 6)

[6; 7)

[7; 8)

[8; 9)

[9; 10)

Giá trị đại diện

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

Số học sinh trường A

4

5

3

4

2

Số học sinh trường B

2

5

4

3

1

b)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Cỡ mẫu nA = 4 + 5 + 3 + 4 + 2 = 18.

Gọi x1; x2; …; x18 là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; …; x4 ∈ [5; 6), x5; …; x9 ∈ [6; 7), x10; x11; x12 ∈ [7; 8),

   x13; …; x16 ∈ [8; 9), x17; x18 ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x5 ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1 = 6 +18445.(7-6) = 6,1.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x14 ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3 = 8 + 31844+5+34.(9-8) = 8,375.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q = Q3 – Q1 = 8,375 – 6,1 = 2,275.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Cỡ mẫu nB = 2 + 5 + 4 + 3 + 1 = 15.

Gọi x1; x2; …; x15 là mẫu số liệu gốc về điểm trung bình năm học của học sinh trường B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x1; x2 ∈ [5; 6), x3; …; x7 ∈ [6; 7), x8; …; x11 ∈ [7; 8),

   x12; x13; x14 ∈ [8; 9), x15 ∈ [9; 10).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x4 ∈ [6; 7).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q1=6+1542576=6,35.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x12 ∈ [8; 9).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Q3=8+31542+5+4398=9712.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆’Q = Q’3 – Q’1 = 9712 – 6,35 = 26151,73 .

Vì ∆Q = 2,275 > ∆’Q ≈ 1,73 nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

c)

• Xét mẫu số liệu của trường A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯A=45,5+56,5+37,5+48,5+29,518=659.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SA2=118[4 ∙ (5,5)2 + 5 ∙ (6,5)2 + 3 ∙ (7,5)2 + 4 ∙ (8,5)+ 2 ∙ (9,5)2] – 6592

569324 .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SA=SA2=5693241,33.

• Xét mẫu số liệu của trường B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

x¯B=25,5+56,5+47,5+38,5+19,515=21730.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SB2=115[2 ∙ (5,5)2 + 5 ∙ (6,5)2 + 4 ∙ (7,5)2 + 3 ∙ (8,5)+ 1 ∙ (9,5)2] – 217302

284225 .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

SB=SB2=2842251,12.

Vì SA ≈ 1,33 > SB ≈ 1,12 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh trường B có điểm trung bình đồng đều hơn.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương III

Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số bằng phần mềm Geogebra

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng máy tính cầm tay

Bài 1. Nguyên hàm

Bài 2. Tích phân

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Lên đầu trang