Giải SGK Toán 12 Bài 7 (Kết nối tri thức): Hệ trục toạ độ trong không gian

Giải bài tập Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

HĐ1 trang 60 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, xét ba trục Ox, Oy, Oz có chung gốc O và đôi một vuông góc với nhau. Gọi i,j,k là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).

Tài liệu VietJack 

a) Gọi tên các mặt phẳng tọa độ có trong Hình 2.35.

b) Các mặt phẳng tọa độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Lời giải:

a) Các mặt phẳng có trong hình vẽ là: Mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

b) Vì OxOy,OyOz, Ox và Oz cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (Oxz) nên Oy(Oxz). Mà Oy(Oxy)(Oxz)(Oxy),Oy(Oyz)(Oyz)(Oxz)

Chứng minh tương tự ta có: (Oyz)(Oxy)

Vậy ba mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau.

Câu hỏi trang 61 Toán 12 Tập 1: Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ tọa độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có hãy mô tả gốc tọa độ và các mặt phẳng tọa độ trong hình ảnh đó.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Góc căn phòng trong Hình 2.34 gợi lên hình ảnh về hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian.

Tài liệu VietJack

Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:

+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.

Luyện tập 1 trang 61 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ i,j,k lần lượt cùng hướng với các vectơ CB,CD,CC không? Vì sao?

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên các cạnh CC’, CB và CD đôi một vuông góc với nhau.

Các vectơ CB,CD,CC cùng có điểm đầu là C.

Do đó, suy ra có thể lập một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ i,j,k lần lượt cùng hướng với các vectơ CB,CD,CC.

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian

HĐ2 trang 61 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).

Tài liệu VietJack

a) Hai vectơ OM và OA+OB+OC có bằng nhau hay không?

b) Giải thích vì sao có thể viết OM=xi+yj+zk với x, y, z là các số thực.

Lời giải:

a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: OM=OA+OB+OC

b) Vì i là vectơ đơn vị trên trục Ox nên OA=xi với x là số thực.

Vì j là vectơ đơn vị trên trục Oy nên OB=yj với y là số thực.

Vì k là vectơ đơn vị trên trục Oz nên OC=zk với z là số thực.

Do đó, OM=OA+OB+OC=xi+yj+zk với x, y, z là các số thực.

Luyện tập 2 trang 62 Toán 12 Tập 1: Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Ta có: ON=2i+5j+4k. Do đó, N(2; 5; 4).

Luyện tập 3 trang 62 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C’.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Theo Ví dụ 3 ta có: m=2,n=3,p=5.

Vì ABB’O là hình bình hành nên OB=OB+OA=nj+pk=3j+5k. Do đó, B(0; 3; 5)

Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên OC=OD+OB=mi+nj=2i+3j. Do đó, C’(2; 3; 0)

Vì ADD’A’ là hình bình hành nên OD=OA+OD=mi+pk=2i+5k. Do đó, D(2; 0; 5)

Vận dụng 1 trang 62 Toán 12 Tập 1: Trong tính huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn với hệ tọa độ đó.

Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn cách sàn nhà là 2m, cách hai bức tường lần lượt là 1m và 1,5m.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:

+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.

+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.

 Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).

HĐ3 trang 62 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tùy ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho OM=a và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho a=xi+yj+zk.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: OM=xi+yj+zk. Mà OM=a nên a=xi+yj+zk. Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho a=xi+yj+zk.

Luyện tập 4 trang 63 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ i+2j+5k.

Lời giải:

Tọa độ của vectơ i+2j+5k là (1;2;5).

HĐ4 trang 63 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(x;y;z) và N(x;y;z).

a) Hãy biểu diễn hai vectơ OM và ON qua các vectơ i,j và k.

b) Xác định tọa độ của vectơ MN.

Lời giải:

a) Ta có: OM=x.i+y.j+z.kON=x.i+y.j+z.k

b) Ta có:MN=ONOM=(x.i+y.j+z.k)(x.i+y.j+z.k)

=(xx).i+(yy).j+(zz).k

Do đó, MN=(xx;yy;zz).

Luyện tập 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D’ sao cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là (x;y;z), khi đó AD(x1;y;z2) và AD(x5;y;z1).

Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.

Do đó, AD=BC{x1=4y=5z2=4{x=5y=5z=6. Suy ra D(5;5;6)

Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.

Do đó, AD=BC{x5=4y=5z1=4{x=9y=5z=5. Suy ra D(9;5;5)

Vận dụng 2 trang 64 Toán 12 Tập 1: Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng lên trên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

890.12=445(km)

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).

Bài tập

Bài 2.13 trang 64 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ abc đều khác 0 và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Có thể lập được một hệ tọa độ Oxyz có các trục tọa độ lần lượt song song với giá của các vectơ abc.
b) Có thể lập được một hệ tọa độ Oxyz có các trục tọa độ lần lượt trùng với giá của các vectơ abc.
c) Có thể lập được một hệ tọa độ Oxyz có các vectơ i,j,k lần lượt bằng các vectơ abc.
d) Có thể lập được một hệ tọa độ Oxyz có các vectơ i,j,k lần lượt cùng phương các vectơ abc.

Lời giải:

Cả 4 câu đều đúng.

Bài 2.14 trang 64 Toán 12 Tập 1: Hãy mô tả hệ tọa độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Hình vẽ phù hợp với mô tả:

Tài liệu VietJack

Bài 2.15 trang 65 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của vectơ AB trong mỗi trường hợp sau:
a) A(0;0;0) và B(4;2;5);
b) A(1;3;7) và B(1;3;7);
c) A(5;4;9) và B(5;7;2).

Lời giải:

a) AB=(xBxA;yByA;zBzA)=(4;2;5)

b) AB=(xBxA;yByA;zBzA)=(0;0;0)

c) AB=(xBxA;yByA;zBzA)=(10;3;7)

Bài 2.16 trang 65 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau:
a) A trùng với gốc tọa độ;
b) A nằm trên tia Ox và OA=2;
c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA=3.

Lời giải:

a) A trùng với gốc tọa độ nên A(0; 0; 0).

b) Vì A nằm trên tia Ox và OA=2 nên OA=2i. Do đó, A(2; 0; 0).

c) Vì A nằm trên tia đối của tia Oy và OA=3 nên OA=3j. Do đó, A(0;3;0).

Bài 2.17 trang 65 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Tài liệu VietJack

Lời giải:

Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).

Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ OD và i cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực m sao cho OD=mi. Mà D(2; 0; 0) nên m=2.

Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ OB và j cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực n sao cho OB=nj. Mà B(0; 4; 0) nên n=4

Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ OA và k cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực p sao cho OA=pk. Mà A’(0; 0; 3) nên p=3.

Vì ODCB là hình bình hành nên OC=OD+OB=mi+nj=2i+4j. Do đó, C(2; 4; 0).

Vì OA’B’B là hình bình hành nên OB=OA+OB=pk+nj=3k+4j. Do đó, B’(0; 4; 3).

Vì OA’D’D là hình bình hành nên OD=OA+OD=mi+pk=2i+3k. Do đó, D’(2; 0; 3).

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

OC=OD+OB+OA=mi+nj+pk=2i+4j+3k. Do đó, C’(2; 4; 3).

Bài 2.18 trang 65 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có A(1;1;1),B(0;3;0),C(2;3;6).

a) Xác định tọa độ của điểm C.
b) Xác định các tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

a) Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên AOBC là hình bình hành. Do đó:OA=CB{xA=xBxCyA=yByCzA=zBzC{xC=xAxB=1yC=yAyB=2zC=zAzB=1C(1;2;1)

b) Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên

OO=CC{xO=xCxC=1yO=yCyC=1zO=zCzC=7O(1;1;7)

AA=CC{xAxA=xCxC=1yAyA=yCyC=1zAzA=zCzC=7{xA=2yA=0zA=6A(2;0;6)

BB=CC{xBxB=(xCxC)=1yByB=(yCyC)=1zBzB=(zCzC)=7{xB=1yB=2zB=7B(1;2;7)

Bài 2.19 trang 65 Toán 12 Tập 1: Trong vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.

Lời giải:

Khi máy bay di chuyển trên đường băng, tức là máy bay di chuyển ở trên mặt đất, tức là thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó, máy bay khi di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.

Tài liệu VietJack

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 6. Vectơ trong không gian

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Lý thuyết Hệ trục toạ độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi i,j,k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

– Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

– Điểm O được gọi là gốc tọa độ

– Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho OM=xi+yj+zk được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x,y,z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M

Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho vecto a tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho a=xi+yj+zk được gọi là tọa độ của vecto a đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết a = (x,y,z) hoặc a (x,y,z)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(xM;yM;zM) và N(xN;yN;zN). Khi đó:

MN=(xNxM;yNyM;zNzM)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a)     Tìm tọa độ của AA

b)    Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a)     Ta có: AA=(xAxA;yAyA;zAzA)=(4;0;1)

b)    Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì BB = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra AA = BB

Do đó {x3=4y2=0z5=1 hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Lên đầu trang