Giải SGK Toán 12 Bài 12 (Kết nối tri thức): Tích phân

Giải bài tập Toán 12 Bài 12: Tích phân

Mở đầu trang 12 Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Ô tô dừng lại khi v(t) = 0. Tức là −40t + 20 = 0 ⇔ t = 0,5 giây.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là:

S=00,540t+20dt=20t2+20t00,5=5 (m).

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được là 5 mét.

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)

a) Tính diện tích S của T khi t = 4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

a)

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Kí hiệu A(1; 0), B(4; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 4; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(4; 5), D(1; 2).

Ta có: AD = 2; BC = 5; AB = 3.

Khi đó diện tích hình thang T là S=AD+BC.AB2=2+5.32=212.

b)

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Gọi A(1; 0), B(t; 0), t ∈ [1; 4] và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = t; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(t; t + 1); D(1; 2).

Do đó AB = t – 1; AD = 2; BC = t + 1.

Khi đó diện tích hình thang ABCD là

St=AD+BC.AB2=t+3.t12=t2+2t32.

c) Có St=t2+2t32St=t2+2t32=2t+12=t+1=ft

Do đó S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4].

Có S4=42+2.432=212;S1=12+2.132=0

Do đó S(4) – S(1) = S.

HĐ2 trang 13 Toán 12 Tập 2: Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) – S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra 0Sx+hSxhx22xh+h2

b) Cho h < 0 sao cho x + h > 1. Tương tự phần a, đánh giá hiệu S(x) – S(x + h) và từ đó suy ra 2xh+h2Sx+hSxhx20

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi h ≠ 0, ta có Sx+hSxhx22xh+h2.

Từ đó chứng minh S'(x) = x2, x ∈ (1; 2).

Người ta chứng minh được S'(1) = 1, S'(2) = 4, tức là S(x) là một nguyên hàm của x2 trên [1; 2].

d) Từ kết quả của phần c, ta có Sx=x33+C. Sử dụng điều này với lưu ý S(1) = 0 và diện tích cần tính S = S(2), hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của f(x) = x2 trên [1; 2]. Hãy so sánh S và F(2) – F(1).

HĐ2 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

a) Với h > 0, x + h < 2, kí hiệu SMNPQ và SMNEF lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có: SMNPQ ≤ S(x + h) – S(x) ≤ SMNEF

hay hx2 ≤ S(x + h) – S(x) ≤ h(x + h)2.

Suy ra 0Sx+hSxhx22xh+h2

b) Với h < 0 và x + h > 1, kí hiệu SMNPQ và SMNEF lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có SMNPQ ≤ S(x + h) – S(x) ≤ SMNEF

hay h(x+h)2 ≤ S(x + h) – S(x) ≤ hx2.

Suy ra 2xh+h2Sx+hSxhx20

c) Dựa vào kết quả của câu a, b ta suy ra với mọi h ≠ 0, ta có:

Sx+hSxhx22xh+h2

Suy ra Sx=limh0Sx+hSxh=x2,x1;2

d) Vì S(1) = 0 nên S1=133+C=0C=13

Vậy Sx=x3313

Ta có S=S2=23313=73

Giả sử Fx=x33 là một nguyên hàm của f(x) = x2 trên [1; 2].

Khi đó F1=13;F2=83. Ta thấy F2F1=73=S.

HĐ3 trang 14 Toán 12 Tập 2: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a).

Lời giải:

Vì F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] nên tồn tại một hằng số C sao cho F(x) = G(x) + C.

Do đó F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).

Luyện tập 1 trang 15 Toán 12 Tập 2: Tính:

a) 01exdx;

b) 1e1xdx;

c) 0π2sinxdx;

d)π6π3dxsin2x

Lời giải:

a) 01exdx=ex01=e1

b) 1e1xdx=lnx1e=lneln1=1

c) 0π2sinxdx=cosx0π2=cosπ2+cos0=1.

d) π6π3dxsin2x=cotxπ6π3=cotπ3+cotπ6=33+3=233

Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) 132x+1dx

b) 224x2dx

Lời giải:

a)

Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Gọi A(1; 0), B(3; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = 2x + 1.

Do đó C(3; 7), D(1; 3).

Tích phân cần tính là diện tích hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AD = 3; đáy lớn BC = 7 và chiều cao AB = 2.

Do đó 132x+1dx=SABCD=AD+BC.AB2=3+7.22=10

b)

Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Ta có y=4x2 là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy 224x2dx=12.π.22=2π

Vận dụng 1 trang 16 Toán 12 Tập 2: Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Lời giải:

Ô tô dừng lại khi v(t) = 0. Tức là −40t + 20 = 0 ⇔ t = 0,5 giây.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là:

S=00,540t+20dt=20t2+20t00,5=5 (m).

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được là 5 mét.

HĐ4 trang 16 Toán 12 Tập 2: Tính và so sánh:

a) 012xdx và 201xdx;

b) 01x2+xdx và 01x2dx+01xdx ;

c) 03xdx và 01xdx+13xdx

Lời giải:

a) 012xdx=x201=1; 201xdx=2.x2201=x201=1.

Do đó 012xdx=201xdx

b) 01x2+xdx=x33+x2201=56

01x2dx+01xdx=x3301+x2201=13+12=56

Do đó 01x2+xdx=01x2dx+01xdx

c) 03xdx=x2203=9201xdx+13xdx=x2201+x2213=12+9212=92.

Do đó 03xdx=01xdx+13xdx.

Luyện tập 3 trang 17 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) 02π2x+cosxdx

b) 123x3xdx

c) π6π31cos2x1sin2xdx

Lời giải:

a) 02π2x+cosxdx=02π2xdx+02πcosxdx=x202π+sinx02π=4π2

b) 123x3xdx=123xdx123xdx

=3xln3123lnx12=32ln33ln33ln2+3ln1=6ln33ln2

c) π6π31cos2x1sin2xdx=π6π31cos2xdxπ6π31sin2xdx

=tanxπ6π3+cotxπ6π3=tanπ3tanπ6+cotπ3cotπ6=333+333=0

Luyện tập 4 trang 17 Toán 12 Tập 2: Tính 032x3dx.

Lời giải:

032x3dx=0322x3dx+3232x3dx=03232xdx+3232x3dx

=3xx2032+x23x323=94+94=92

Vận dụng 2 trang 17 Toán 12 Tập 2: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là 1baabfxdx. Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12. Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Lời giải:

Nhiệt độ trung bình vào ngày đó là:

112661220+1,5t6dt=166121,5t+11dt

=1634t2+11t612=40312=492=24,5°C

Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là 24,5°C.

Bài tập

Bài 4.8 trang 18 Toán 12 Tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) 122x+1dx

b) 339x2dx

Lời giải:

a)

Bài 4.8 trang 18 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Gọi A(1; 0), B(2; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 2; x = 1 với đường thẳng y = 2x + 1. Khi đó C(2; 5), D(1; 3).

Tích phân cần tính chính là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AD = 3, đáy lớn BC = 5, đường cao AB = 1.

Khi đó 122x+1dx=SABCD=AD+BCAB2=3+5.12=4

b)

Bài 4.8 trang 18 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Ta có y=9x2 là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy 339x2dx=12.π.32=92π

Bài 4.9 trang 18 Toán 12 Tập 2: Cho 03fxdx=5 và 03gxdx=2. Tính:

a) 03fx+gxdx;

b) 03fxgxdx;

c) 033fxdx;

d) 032fx3gxdx

Lời giải:

a) 03fx+gxdx=03fxdx+03gxdx=5+2=7

b) 03fxgxdx=03fxdx03gxdx=52=3

c) 033fxdx=303fxdx=3.5=15

d) 032fx3gxdx=203fxdx303gxdx=2.53.2=4

Bài 4.10 trang 18 Toán 12 Tập 2: Tính:

a) 033x12dx;

b) 0π21+sinxdx;

c) 01e2x+3x2dx;

d) 122x+1dx

Lời giải:

a) 033x12dx=039x26x+1dx=903x2dx603xdx+03dx

=3x3033x203+x03=8127+3=57

b) 0π21+sinxdx=0π2dx+0π2sinxdx=x0π2cosx0π2=π2+1

c) 01e2x+3x2dx=01e2xdx+301x2dx=e2x201+x301=e2212+1=e22+12

d) 122x+1dx=1122x+1dx+1222x+1dx=1122x1dx+1222x+1dx

=x2x112+x2+x122=14+6+14=132

Bài 4.11 trang 18 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là v(t) = t2 – t – 6 (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4, tức là tính 14vtdt.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính 14vtdt.

Lời giải:

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4 là

14vtdt=14t2t6dt=14t2dt14tdt614dt=t33t226t14=323+376=92

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là

14vtdt=14t2t6dt=13t2t6dt+34t2t6dt

=13t2t6dt+34t2t6dt=t33t226t13+t33t226t34

=272376323+272=616

Bài 4.12 trang 18 Toán 12 Tập 2: Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0005x + 12,2. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm.

Lời giải:

a) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm là:

100101Pxdx=1001010,0005x+12,2dx=14000x2+12,2x100101

= 1229,64975 – 1217,5 = 12,14975 triệu đồng.

b) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm là

100110Pxdx=1001100,0005x+12,2dx=14000x2+12,2x100110

= 1338,975 – 1217,5 = 121,475 triệu đồng.

Bài 4.13 trang 18 Toán 12 Tập 2: Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v = k(R2 – r2), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0 ≤ r ≤ R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Lời giải:

Vận tốc trung bình của động mạch là:

vtb=1R00Rvrdr=1R0RkR2r2dr=1RkR2rr330R=23kR2

Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là 23kR2

Vì 0 ≤ r ≤ R nên vận tốc lớn nhất của động mạch là kR2 khi r = 0.

Do đó vtb=23vmax

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11. Nguyên hàm

Bài 12. Tích phân

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Lên đầu trang